Lista das informações relevantes que temos: os elementos de A estão explícitos (linha a linha) e trata-se de uma matriz quadrada 3\times3.]
Passo 2
Conceito útil (explicação didática): uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, o seu determinante \det(A) for diferente de zero. O determinante é um número associado à matriz que, intuitivamente, mede se as colunas (ou linhas) são linearmente independentes. Para matrizes 3\times3 há várias formas de calcular \det(A); aqui usarei a expansão por cofatores na primeira linha (método direto e fácil de executar sem calculadora).
Fórmula da expansão por cofatores na primeira linha:
\det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13},
onde a_{1j} são os elementos da primeira linha e M_{1j} são os determinantes dos menores 2\times2 obtidos removendo a linha 1 e a coluna j.
Passo 3
Calcular os menores M_{11},M_{12},M_{13}.
Para M_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1, sobra a submatriz \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & -1\end{pmatrix}. Então
Verificação rápida (didática): multiplicar A por A^{-1} deve dar a identidade I_3. Faço uma verificação das entradas da primeira linha do produto A\cdot A^{-1}:
Primeiro elemento: [2,-1,1]\cdot[\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}] = 2\cdot\tfrac{1}{2} + (-1)\cdot\tfrac{1}{2} + 1\cdot\tfrac{1}{2}=1-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
Segundo elemento: [2,-1,1]\cdot[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}] = 2\cdot\tfrac{1}{2} + (-1)\cdot\tfrac{3}{2} + 1\cdot\tfrac{1}{2}=1-\tfrac{3}{2}+\tfrac{1}{2}=0.