Q. 2 Verifique se a matriz \Lambda é inversível, e se o for, determine a sua inversa:
A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) verificar se a matriz A é inversível; (2) se for inversível, determinar A^{-1}. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Lista das informações relevantes que temos: os elementos de A estão explícitos (linha a linha) e trata-se de uma matriz quadrada 3\times3.]

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, o seu determinante \det(A) for diferente de zero. O determinante é um número associado à matriz que, intuitivamente, mede se as colunas (ou linhas) são linearmente independentes. Para matrizes 3\times3 há várias formas de calcular \det(A); aqui usarei a expansão por cofatores na primeira linha (método direto e fácil de executar sem calculadora).
Fórmula da expansão por cofatores na primeira linha:
\det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13},
onde a_{1j} são os elementos da primeira linha e M_{1j} são os determinantes dos menores 2\times2 obtidos removendo a linha 1 e a coluna j.

Passo 3

Calcular os menores M_{11},M_{12},M_{13}.
  • Para M_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1, sobra a submatriz \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & -1\end{pmatrix}. Então
M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-0\cdot0=-1.
  • Para M_{12}: eliminar linha 1 e coluna 2, sobra \begin{pmatrix}-1 & 0\\[2pt]1 & -1\end{pmatrix}. Então
M_{12}=\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\[2pt]1 & -1\end{pmatrix}=(-1)\cdot(-1)-0\cdot1=1.
  • Para M_{13}: eliminar linha 1 e coluna 3, sobra \begin{pmatrix}-1 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}. Então
M_{13}=\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}=(-1)\cdot0-1\cdot1=-1.]

Passo 4

Usar a fórmula da expansão por cofatores com os valores obtidos. Os elementos da primeira linha são a_{11}=2, a_{12}=-1, a_{13}=1. Assim
\det(A)=2\cdot M_{11} - (-1)\cdot M_{12} + 1\cdot M_{13} =2\cdot(-1) + 1\cdot(1) + 1\cdot(-1).
Calculando:
\det(A)=-2 + 1 - 1 = -2.
Como \det(A)=-2 \neq 0, concluímos que A é inversível.

Passo 5

Método para encontrar a inversa (explicação didática): para uma matriz inversível A vale
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a adjunta (ou adjugado) de A, isto é, a transposta da matriz dos cofatores. O cofator C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o menor (determinante) obtido ao remover linha i e coluna j.
Vou calcular todos os cofatores C_{ij} formando a matriz dos cofatores e depois transpor para obter \operatorname{adj}(A).

Passo 6

Calcular os menores e cofatores para todas as entradas (já calculamos alguns):
  • M_{11}=-1 então C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot(-1)=-1.
  • M_{12}=1 então C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot1=-1.
  • M_{13}=-1 então C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=1\cdot(-1)=-1.
Agora linha 2:
  • M_{21}: eliminar linha 2 coluna 1 deixa \begin{pmatrix}-1 & 1\\[2pt]0 & -1\end{pmatrix}. Então
M_{21}=(-1)\cdot(-1)-1\cdot0=1,
e C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot1=-1.
  • M_{22}: eliminar linha 2 coluna 2 deixa \begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]1 & -1\end{pmatrix}. Então
M_{22}=2\cdot(-1)-1\cdot1=-2-1=-3,
e C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=1\cdot(-3)=-3.
  • M_{23}: eliminar linha 2 coluna 3 deixa \begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}. Então
M_{23}=2\cdot0-(-1)\cdot1=1,
e C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot1=-1.
Agora linha 3:
  • M_{31}: eliminar linha 3 coluna 1 deixa \begin{pmatrix}-1 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}. Então
M_{31}=(-1)\cdot0-1\cdot1=-1,
e C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=1\cdot(-1)=-1.
  • M_{32}: eliminar linha 3 coluna 2 deixa \begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]-1 & 0\end{pmatrix}. Então
M_{32}=2\cdot0-1\cdot(-1)=1,
e C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot1=-1.
  • M_{33}: eliminar linha 3 coluna 3 deixa \begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]-1 & 1\end{pmatrix}. Então
M_{33}=2\cdot1-(-1)\cdot(-1)=2-1=1,
e C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=1\cdot1=1.
Portanto a matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1\\[4pt] -1 & -3 & -1\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

A adjunta (adjugado) é a transposta da matriz de cofatores. Como a matriz dos cofatores aqui é simétrica, a transposta é a mesma matriz:
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1\\[4pt] -1 & -3 & -1\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Agora aplicar a fórmula A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A) com \det(A)=-2. Assim
A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1\\[4pt] -1 & -3 & -1\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} =-\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1\\[4pt] -1 & -3 & -1\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Multiplicando cada entrada por -\tfrac{1}{2} obtemos
A^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (didática): multiplicar A por A^{-1} deve dar a identidade I_3. Faço uma verificação das entradas da primeira linha do produto A\cdot A^{-1}:
  • Primeiro elemento: [2,-1,1]\cdot[\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}] = 2\cdot\tfrac{1}{2} + (-1)\cdot\tfrac{1}{2} + 1\cdot\tfrac{1}{2}=1-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
  • Segundo elemento: [2,-1,1]\cdot[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}] = 2\cdot\tfrac{1}{2} + (-1)\cdot\tfrac{3}{2} + 1\cdot\tfrac{1}{2}=1-\tfrac{3}{2}+\tfrac{1}{2}=0.
  • Terceiro elemento: [2,-1,1]\cdot[\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}] = 2\cdot\tfrac{1}{2} + (-1)\cdot\tfrac{1}{2} + 1\cdot(-\tfrac{1}{2})=1-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0.
As outras linhas podem ser verificadas do mesmo modo e dão os restantes elementos da identidade. Assim a matriz encontrada é de facto a inversa.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

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