Verifique que y=\operatorname{sen} 3 t+2 \cos 3 t é uma solução para o problema de valor inicial
2 y^{\prime \prime}+18 y=0 ; \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=3 .
Encontre o máximo de |y(t)| para -\infty<t<\infty.

Passo 1

O enunciado dá a função y(t)=\sin(3t)+2\cos(3t) e pede duas coisas: (1) verificar que essa função é solução do problema de valor inicial
2y''+18y=0,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=3,
e (2) encontrar o máximo de |y(t)| para -\infty<t<\infty.
As informações relevantes: a expressão explícita de y(t) e a EDO linear homogênea de segunda ordem com as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Vamos calcular y'(t). Lembre que, pela regra da cadeia, a derivada de \sin(3t) em relação a t é 3\cos(3t) (porque derivada de \sin u é \cos u e \dfrac{d}{dt}(3t)=3). De forma análoga, a derivada de 2\cos(3t) é 2\times(-\sin(3t))\times 3=-6\sin(3t). Portanto,
y'(t)=3\cos(3t)-6\sin(3t).

Passo 3

Agora calculamos y''(t). Derivando termo a termo:
  • Derivada de 3\cos(3t) é 3\times(-\sin(3t))\times 3 = -9\sin(3t).
  • Derivada de -6\sin(3t) é -6\times\cos(3t)\times 3 = -18\cos(3t).
    Logo
y''(t)=-9\sin(3t)-18\cos(3t).

Passo 4

Substituímos y e y'' na EDO 2y''+18y para verificar se dá zero. Calculamos:
2y''+18y = 2\bigl(-9\sin(3t)-18\cos(3t)\bigr) + 18\bigl(\sin(3t)+2\cos(3t)\bigr).
Executando as multiplicações:
2y''+18y = (-18\sin(3t)-36\cos(3t)) + (18\sin(3t)+36\cos(3t)).
Somando os termos semelhantes obtemos 0. Portanto a função satisfaz a equação diferencial:
2y''+18y=0.

Passo 5

Verificamos as condições iniciais em t=0.
  • Para y(0):
y(0)=\sin(0)+2\cos(0)=0+2\cdot 1 = 2,
que coincide com a condição y(0)=2.
  • Para y'(0):
y'(0)=3\cos(0)-6\sin(0)=3\cdot 1 - 6\cdot 0 = 3,
que coincide com y'(0)=3. Assim, y(t) satisfaz tanto a EDO quanto as condições iniciais, logo é solução do PVI.

Passo 6

Agora vamos encontrar o máximo de |y(t)|. Uma estratégia muito útil: escrever a combinação \sin(3t)+2\cos(3t) como uma só função seno (ou cosseno) com amplitude e fase. Em geral, para constantes a e b temos
a\sin(3t)+b\cos(3t)=R\sin(3t+\varphi),
onde R>0 e \varphi satisfazem
R\cos\varphi = a,\qquad R\sin\varphi = b.
Aqui a=1 e b=2.

Passo 7

Calculamos a amplitude R usando o fato R^2=(R\cos\varphi)^2+(R\sin\varphi)^2=a^2+b^2. Assim
R=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.
Para o ângulo de fase \varphi podemos tomar
\cos\varphi=\frac{a}{R}=\frac{1}{\sqrt{5}},\qquad \sin\varphi=\frac{b}{R}=\frac{2}{\sqrt{5}},
ou seja \varphi=\arctan(2) (considerando \varphi no primeiro quadrante porque \cos\varphi>0 e \sin\varphi>0).

Passo 8

Portanto reescrevemos
y(t)=\sin(3t)+2\cos(3t)=\sqrt{5}\,\sin\bigl(3t+\varphi\bigr),\qquad \varphi=\arctan(2).
Agora fica claro: a função \sin(\cdot) varia entre -1 e 1, logo \sqrt{5}\sin(\cdot) varia entre -\sqrt{5} e \sqrt{5}. Assim o valor máximo de |y(t)| é \sqrt{5}.

Passo 9

Para reforçar a intuição, uma alternativa rápida é usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz: para qualquer t,
\bigl|\sin(3t)+2\cos(3t)\bigr| \le \sqrt{\sin^2(3t)+\cos^2(3t)}\;\sqrt{1^2+2^2} =1\cdot\sqrt{5}=\sqrt{5},
e a igualdade ocorre quando o vetor (\sin(3t),\cos(3t)) é proporcional a (1,2), o que corresponde ao mesmo ângulo de fase calculado acima. Uma escolha explícita de t que dá o máximo é qualquer t tal que
3t+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
ou seja
t=\frac{\pi/2-\varphi+2k\pi}{3}.

Resposta

y(t)=\sin(3t)+2\cos(3t) verifica a EDO 2y''+18y=0 e as condições y(0)=2,\;y'(0)=3.
\displaystyle \max_{-\infty<t<\infty}|y(t)|=\sqrt{5}.

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