Verifique que a senoide exponencialmente amortecida y(t)= e^{-3 t} \operatorname{sen}([\sqrt{3} t]) é uma solução para a Equação (3) se F_{\text {ext }}(t) =0, m=1, b=6 e k=12. Qual é o limite dessa solução quando t \rightarrow \infty ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) verificar que a função \,y(t)=e^{-3t}\sin(\sqrt{3}\,t)\, é solução da Equação (3) quando \,F_{\text{ext}}(t)=0, \,m=1, \,b=6 e \,k=12; (ii) determinar o limite de \,y(t) quando \,t\to\infty.
As informações relevantes fornecidas são: \,y(t)=e^{-3t}\sin(\sqrt{3}\,t), \,F_{\text{ext}}(t)=0, \,m=1, \,b=6, \,k=12.
Vou usar a forma usual da equação do oscilador amortecido homogêneo (Equação (3) presumida):
m\,y'' + b\,y' + k\,y = F_{\text{ext}}(t).
Com os valores dados isso fica
y'' + 6y' + 12y = 0.

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas necessárias de \,y(t)=e^{-3t}\sin(\sqrt{3}\,t). Primeiro, explicando a técnica: usaremos a regra do produto para derivar u(t)v(t), que diz (uv)'=u'v+uv'. Também usaremos as derivadas básicas (e^{at})' = a e^{at}, (\sin(\omega t))' = \omega\cos(\omega t) e (\cos(\omega t))' = -\omega\sin(\omega t). Aqui a=-3 e \omega=\sqrt{3}.

Passo 3

Calcule y'(t) passo a passo aplicando a regra do produto:
y(t)=e^{-3t}\sin(\sqrt{3}t).
Derivando,
y'(t)=\big(e^{-3t}\big)'\sin(\sqrt{3}t)+e^{-3t}\big(\sin(\sqrt{3}t)\big)'.
Substituindo as derivadas conhecidas:
\big(e^{-3t}\big)'=-3e^{-3t},\qquad \big(\sin(\sqrt{3}t)\big)'=\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t),
obtemos
y'(t)= -3e^{-3t}\sin(\sqrt{3}t) + e^{-3t}\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t).
Fatorando e^{-3t}:
y'(t)=e^{-3t}\big(-3\sin(\sqrt{3}t)+\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)\big).

Passo 4

Agora calcule y''(t). Vamos derivar a expressão de y'(t) usando novamente a regra do produto:
y'(t)=e^{-3t}\big(-3\sin(\sqrt{3}t)+\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)\big).
Derivando:
y''(t)=\big(e^{-3t}\big)'\big(-3\sin(\sqrt{3}t)+\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)\big) + e^{-3t}\frac{d}{dt}\big(-3\sin(\sqrt{3}t)+\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)\big).
Calcule as partes:
\big(e^{-3t}\big)'=-3e^{-3t}.
E para a derivada do parêntese:
\frac{d}{dt}\big(-3\sin(\sqrt{3}t)+\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)\big) = -3\big(\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)\big) + \sqrt{3}\big(-\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t)\big).
Simplificando essa derivada:
-3\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) -3\sin(\sqrt{3}t).
Agora substituindo tudo em y''(t):
y''(t) = -3e^{-3t}\big(-3\sin(\sqrt{3}t)+\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)\big) + e^{-3t}\big(-3\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)-3\sin(\sqrt{3}t)\big).
Colocando e^{-3t} em evidência e somando os termos semelhantes:
y''(t)=e^{-3t}\big[\, -3(-3\sin(\sqrt{3}t)+\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)) -3\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)-3\sin(\sqrt{3}t)\,\big].
Calculando o que está entre colchetes:
-3(-3\sin)+(-3\sin)=9\sin-3\sin=6\sin,
-3(\sqrt{3}\cos)-3\sqrt{3}\cos=-3\sqrt{3}\cos-3\sqrt{3}\cos=-6\sqrt{3}\cos.
Portanto
y''(t)=e^{-3t}\big(6\sin(\sqrt{3}t)-6\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)\big).
Fatorando 6:
y''(t)=6e^{-3t}\big(\sin(\sqrt{3}t)-\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)\big).

Passo 5

Agora substituímos y, y' e y'' na equação diferencial homogênea
y''+6y'+12y.
Escrevendo cada termo com o fator comum e^{-3t}:
y''(t)=e^{-3t}\big(6\sin(\sqrt{3}t)-6\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)\big),
6y'(t)=6e^{-3t}\big(-3\sin(\sqrt{3}t)+\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)\big) = e^{-3t}\big(-18\sin(\sqrt{3}t)+6\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)\big),
12y(t)=12e^{-3t}\sin(\sqrt{3}t)=e^{-3t}\big(12\sin(\sqrt{3}t)\big).
Somando os três termos:
y''+6y'+12y = e^{-3t}\Big((6-18+12)\sin(\sqrt{3}t) + (-6\sqrt{3}+6\sqrt{3})\cos(\sqrt{3}t)\Big).
Simplificando os coeficientes:
6-18+12=0,\qquad -6\sqrt{3}+6\sqrt{3}=0.
Logo
y''+6y'+12y = e^{-3t}(0\cdot\sin(\sqrt{3}t)+0\cdot\cos(\sqrt{3}t)) = 0.
Isso mostra diretamente que \,y(t)=e^{-3t}\sin(\sqrt{3}t)\, satisfaz a equação diferencial com \,m=1, \,b=6, \,k=12 e \,F_{\text{ext}}=0.

Passo 6

Uma explicação alternativa (útil na prova): o polinômio característico da equação homogênea
r^{2}+6r+12=0
tem raízes
r=\frac{-6\pm\sqrt{36-48}}{2}=-3\pm i\sqrt{3}.
Portanto a solução geral é
y(t)=e^{-3t}\big(C_{1}\cos(\sqrt{3}\,t)+C_{2}\sin(\sqrt{3}\,t)\big).
A função dada corresponde a C_{1}=0, C_{2}=1, confirmando de outra forma que é solução.

Passo 7

Agora o limite quando t\to\infty. Observação: \,|\sin(\sqrt{3}t)|\le 1 para todo t. Assim
|y(t)| = \big|e^{-3t}\sin(\sqrt{3}t)\big| \le e^{-3t}\cdot 1 = e^{-3t}.
Como \,e^{-3t}\to 0 quando \,t\to\infty, pelo teorema do confronto (squeeze) concluímos que
\lim_{t\to\infty} y(t)=0.

Resposta

y''+6y'+12y=0 (logo \,y(t)=e^{-3t}\sin(\sqrt{3}t)\, é solução da Equação (3) com F_{\text{ext}}=0, m=1, b=6, k=12)\n \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=0

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