Verifique que a senoide exponencialmente amortecida y(t)= e^{-3 t} \operatorname{sen}([\sqrt{3} t]) é uma solução para a Equação (3) se F_{\text {ext }}(t) =0, m=1, b=6 e k=12. Qual é o limite dessa solução quando t \rightarrow \infty ?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) verificar que a função \,y(t)=e^{-3t}\sin(\sqrt{3}\,t)\, é solução da Equação (3) quando \,F_{\text{ext}}(t)=0, \,m=1, \,b=6 e \,k=12; (ii) determinar o limite de \,y(t) quando \,t\to\infty.
As informações relevantes fornecidas são: \,y(t)=e^{-3t}\sin(\sqrt{3}\,t), \,F_{\text{ext}}(t)=0, \,m=1, \,b=6, \,k=12.
Vou usar a forma usual da equação do oscilador amortecido homogêneo (Equação (3) presumida):
m\,y'' + b\,y' + k\,y = F_{\text{ext}}(t).
Com os valores dados isso fica
y'' + 6y' + 12y = 0.
Passo 2
Agora vamos calcular as derivadas necessárias de \,y(t)=e^{-3t}\sin(\sqrt{3}\,t). Primeiro, explicando a técnica: usaremos a regra do produto para derivar u(t)v(t), que diz (uv)'=u'v+uv'. Também usaremos as derivadas básicas (e^{at})' = a e^{at}, (\sin(\omega t))' = \omega\cos(\omega t) e (\cos(\omega t))' = -\omega\sin(\omega t). Aqui a=-3 e \omega=\sqrt{3}.
Passo 3
Calcule y'(t) passo a passo aplicando a regra do produto:
Como \,e^{-3t}\to 0 quando \,t\to\infty, pelo teorema do confronto (squeeze) concluímos que
\lim_{t\to\infty} y(t)=0.
Resposta
y''+6y'+12y=0 (logo \,y(t)=e^{-3t}\sin(\sqrt{3}t)\, é solução da Equação (3) com F_{\text{ext}}=0, m=1, b=6, k=12)\n\displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=0