Verifique se as séries dadas são convergentes:
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n}{\ln n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n}{\ln n}
e pede para verificar se essa série é convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{n}{\ln n} para n\ge2.
  • O que se quer saber é se a soma infinita \sum_{n=2}^{\infty} a_n converge (tem soma finita) ou diverge.

Passo 2

Lembrete útil (condição necessária para convergência): se uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então o termo geral tem limite zero:
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicação curta e intuitiva: se S_N=\sum_{k=1}^{N} a_k tem limite S finito quando N\to\infty, então a_N=S_N-S_{N-1}\to S-S=0. Portanto, se \lim_{n\to\infty} a_n\neq0, a série não pode convergir. Essa é uma ferramenta muito rápida para descartar convergência.

Passo 3

Vamos estudar \lim_{n\to\infty} a_n com a_n=\dfrac{n}{\ln n}. Uma maneira simples de ver que esse limite não é zero é mostrar que, para todos os n suficientemente grandes, a_n é maior que 1 (logo não tende a 0).
Mostramos primeiro que, para x>1,
\ln x < x.
Prova elementar: considere a função g(x)=x-\ln x. Calcula-se a derivada g'(x)=1-\dfrac{1}{x}. Para x>1 tem-se g'(x)>0, logo g é crescente em (1,\infty). Como g(1)=1-\ln 1=1>0, conclui-se que g(x)>0 para todo x>1, ou seja \ln x < x para todo x>1.
Agora aplique isso com x=n inteiro e n\ge2. Obtemos \ln n < n, portanto
\frac{n}{\ln n} > 1\qquad\text{para todo }n\ge2.

Passo 4

Da desigualdade \dfrac{n}{\ln n}>1 para todo n\ge2 segue que a sequência de termos a_n=\dfrac{n}{\ln n} não tende a zero; na verdade ela é maior ou igual a 1 sempre, portanto
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\ln n} \neq 0\quad(\text{o limite é }+\infty).é
Pelo argumento do Passo 2 (condição necessária para convergência), se o termo geral não tende a zero a série não pode convergir.

Passo 5

Conclusão final: a série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{n}{\ln n} diverge, pois seu termo geral não tende a zero.

Resposta

A série diverge.

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