Verifique se as séries dadas são convergentes:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para verificar se essa série é convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral da série é
para . - O que se quer saber é se a soma infinita
converge (tem soma finita) ou diverge.
Passo 2
Lembrete útil (condição necessária para convergência): se uma série
converge, então o termo geral tem limite zero:
Explicação curta e intuitiva: se
tem limite
finito quando
, então
. Portanto, se
, a série não pode convergir. Essa é uma ferramenta muito rápida para descartar convergência.
Passo 3
Vamos estudar
com
. Uma maneira simples de ver que esse limite não é zero é mostrar que, para todos os
suficientemente grandes,
é maior que
(logo não tende a
).
Mostramos primeiro que, para
,
Prova elementar: considere a função
. Calcula-se a derivada
. Para
tem-se
, logo
é crescente em
. Como
, conclui-se que
para todo
, ou seja
para todo
.
Agora aplique isso com
inteiro e
. Obtemos
, portanto
Passo 4
Da desigualdade
para todo
segue que a sequência de termos
não tende a zero; na verdade ela é maior ou igual a
sempre, portanto
Pelo argumento do Passo 2 (condição necessária para convergência), se o termo geral não tende a zero a série não pode convergir.
Passo 5
Conclusão final: a série
diverge, pois seu termo geral não tende a zero.
Resposta
A série diverge.