Verifique o teorema de Gauss para \vec{F}(x, y, z)=x z \vec{i}+y z \vec{j}+z^{2} \vec{k}, calculando as duas integrais do enunciado, onde S é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} e \vec{n} é a normal unitária exterior a S.
Passo 1
Vou descrever com calma o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Dados do enunciado:
O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=x z\,\vec{i}+y z\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k}.
A superfície S é a esfera de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.
A normal unitária exterior a S é \vec{n} (ou seja, aponta para fora da esfera).
A região volumétrica V é o interior da esfera (a bola de raio a) — isto é o domínio encerrado por S.
O que o enunciado pede:
Calcular a integral de superfície \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.
Calcular a integral de volume \iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Verificar que os dois valores coincidem (teorema de Gauss / divergência).
Passo 2
Explicar e calcular a divergência \nabla\cdot\vec{F}.
Lembrete do conceito: a divergência de um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é a soma das derivadas parciais das componentes:
Aqui F_x, F_y, F_z são as componentes de \vec{F} nas direções \vec{i},\vec{j},\vec{k}, respectivamente; as derivadas parciais tratam as outras variáveis como constantes.
Para o nosso campo temos F_x = xz, F_y = yz, F_z = z^2. Então
Calcular a integral de volume \displaystyle \iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=\iiint_{V}4z\,dV usando simetria e coordenadas esféricas.
Observação de simetria (explicação intuitiva): a região V é a bola centrada na origem; a função z é ímpar em relação ao plano z=0 (isto é, z(x,y,-z)=-z(x,y,z)). Integrar uma função ímpar sobre uma região simétrica em torno do plano z=0 dá zero porque as contribuições positivas e negativas se cancelam. Portanto
\iiint_{V}4z\,dV=0.
Mas para ficar bem formal podemos também calcular em coordenadas esféricas.
Coordenadas esféricas (definições):
r é a distância ao origem, \theta é o ângulo polar medido desde o eixo +z (0 a \pi), e \varphi é o ângulo azimutal no plano xy (0 a 2\pi).
Relação com z: z=r\cos\theta.
Elemento de volume: dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Intervalos: 0\le r\le a, 0\le\theta\le\pi, 0\le\varphi\le2\pi.
Novamente por simetria, a função z tem média zero sobre a superfície esférica (partes com z>0 cancelam as partes com z<0). Formalmente, podemos avaliar com coordenadas esféricas na superfície:
Em S: r=a fixo, z=a\cos\theta.
Elemento de área da esfera: dS=a^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.