Verifique o teorema de Gauss para \vec{F}(x, y, z)=x z \vec{i}+y z \vec{j}+z^{2} \vec{k}, calculando as duas integrais do enunciado, onde S é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} e \vec{n} é a normal unitária exterior a S.

Passo 1

Vou descrever com calma o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados do enunciado:
    • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=x z\,\vec{i}+y z\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k}.
    • A superfície S é a esfera de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.
    • A normal unitária exterior a S é \vec{n} (ou seja, aponta para fora da esfera).
    • A região volumétrica V é o interior da esfera (a bola de raio a) — isto é o domínio encerrado por S.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a integral de superfície \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.
    • Calcular a integral de volume \iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
    • Verificar que os dois valores coincidem (teorema de Gauss / divergência).

Passo 2

Explicar e calcular a divergência \nabla\cdot\vec{F}.
  • Lembrete do conceito: a divergência de um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é a soma das derivadas parciais das componentes:
    \nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
    Aqui F_x, F_y, F_z são as componentes de \vec{F} nas direções \vec{i},\vec{j},\vec{k}, respectivamente; as derivadas parciais tratam as outras variáveis como constantes.
  • Para o nosso campo temos F_x = xz, F_y = yz, F_z = z^2. Então
    \frac{\partial F_x}{\partial x}=\frac{\partial (xz)}{\partial x}=z, \qquad \frac{\partial F_y}{\partial y}=\frac{\partial (yz)}{\partial y}=z, \qquad \frac{\partial F_z}{\partial z}=\frac{\partial (z^{2})}{\partial z}=2z.
    Somando:
    \nabla\cdot\vec{F}=z+z+2z=4z.

Passo 3

Calcular a integral de volume \displaystyle \iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=\iiint_{V}4z\,dV usando simetria e coordenadas esféricas.
  • Observação de simetria (explicação intuitiva): a região V é a bola centrada na origem; a função z é ímpar em relação ao plano z=0 (isto é, z(x,y,-z)=-z(x,y,z)). Integrar uma função ímpar sobre uma região simétrica em torno do plano z=0 dá zero porque as contribuições positivas e negativas se cancelam. Portanto
    \iiint_{V}4z\,dV=0.
    Mas para ficar bem formal podemos também calcular em coordenadas esféricas.
  • Coordenadas esféricas (definições):
    • r é a distância ao origem, \theta é o ângulo polar medido desde o eixo +z (0 a \pi), e \varphi é o ângulo azimutal no plano xy (0 a 2\pi).
    • Relação com z: z=r\cos\theta.
    • Elemento de volume: dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
    • Intervalos: 0\le r\le a, 0\le\theta\le\pi, 0\le\varphi\le2\pi.
  • Escrevendo a integral:
    \iiint_{V}4z\,dV =4\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{a} (r\cos\theta)\, r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
    Agrupando fatores de r e separando as integrais:
    =4\left(\int_{0}^{a} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{2\pi} d\varphi\right).
  • Calcule cada integral:
    \int_{0}^{a} r^{3}\,dr=\left.\tfrac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{a}=\tfrac{a^{4}}{4}.
\int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi.
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\left.\tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta\right|_{0}^{\pi} =\tfrac{1}{2}\big(\sin^{2}\pi-\sin^{2}0\big)=0.
Como o fator angular é zero, toda a integral é zero. Logo
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=0.

Passo 4

Calcular a integral de superfície \displaystyle \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS diretamente.
  • A normal unitária exterior à esfera de raio a em um ponto (x,y,z) é
    \vec{n}=\frac{1}{a}\,(x\,\vec{i}+y\,\vec{j}+z\,\vec{k}),
    porque o vetor radial (x,y,z) tem módulo a na superfície e aponta para fora. Aqui dS é o elemento de área sobre a superfície S.
  • Calcule o produto escalar \vec{F}\cdot\vec{n}:
    \vec{F}\cdot\vec{n}=(xz)\frac{x}{a}+(yz)\frac{y}{a}+(z^{2})\frac{z}{a} =\frac{1}{a}\big(x^{2}z+y^{2}z+z^{3}\big).
    Usando que na superfície S vale x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, obtemos
    x^{2}z+y^{2}z+z^{3}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})z=a^{2}z.
    Portanto, sobre S,
    \vec{F}\cdot\vec{n}=\frac{a^{2}z}{a}=a z.
  • Assim a integral de superfície fica
    \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =a\iint_{S} z\,dS.
    Novamente por simetria, a função z tem média zero sobre a superfície esférica (partes com z>0 cancelam as partes com z<0). Formalmente, podemos avaliar com coordenadas esféricas na superfície:
    • Em S: r=a fixo, z=a\cos\theta.
    • Elemento de área da esfera: dS=a^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
    Substituindo:
    a\iint_{S} z\,dS =a\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} (a\cos\theta)\,(a^{2}\sin\theta)\,d\theta\,d\varphi =a^{4}\left(\int_{0}^{2\pi}d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right).
    Como no passo anterior, \int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=0. Logo
    \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=0.

Passo 5

Conclusão e verificação do teorema de Gauss.
  • Encontramos \iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=0 \qquad\text{e}\qquad \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=0.
  • As duas integrais coincidem; portanto o teorema da divergência (Gauss) está verificado para este campo e esta esfera.

Resposta

\displaystyle \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=0
\displaystyle \iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=0

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