As informações relevantes que temos são exatamente a expressão de u(x,t) (em termos de f e g) e a equação diferencial e condições iniciais a serem verificadas. A tarefa é (i) calcular u_t e u_{tt}, (ii) calcular u_x e u_{xx}, (iii) mostrar que a^{2}u_{xx}=u_{tt}, e (iv) verificar as condições iniciais em t=0.]
Passo 2
Antes de derivar, lembro duas regras que vou usar (e explico de forma simples):
Regra da cadeia: se h(t)=f(x\pm a t) com x fixo, então
\frac{d}{dt}f(x\pm a t)=\pm a\, f'(x\pm a t),
e aplicando novamente,
\frac{d^2}{dt^2}f(x\pm a t)=a^2\, f''(x\pm a t).
Aqui f' e f'' são derivadas de f em relação ao seu argumento.
Regra de Leibniz para derivar uma integral com limites dependentes de t: se
Para a integral, aplico a regra de Leibniz agora derivando em relação a x. Os limites são \alpha(x)=x-at e \beta(x)=x+at, e \alpha'(x)=1, \beta'(x)=1. Assim
Concluímos que a função dada satisfaz tanto a equação diferencial a^{2}u_{xx}=u_{tt} quanto as condições iniciais u(x,0)=f(x) e u_t(x,0)=g(x). Portanto ela é solução do problema de valor inicial proposto.
Resposta
Sim. A função \;u(x,t)=\dfrac{1}{2}\bigl[f(x-at)+f(x+at)\bigr]+\dfrac{1}{2a}\displaystyle\int_{x-at}^{x+at} g(s)\,ds\; satisfaz a^{2}u_{xx}=u_{tt}, u(x,0)=f(x) e u_{t}(x,0)=g(x).