Verifique se o vetor v \in V pertence ao núcleo da transformação linear T: V \rightarrow W, em cada caso:
V=M_{2}(\mathbb{R}) ; \quad W=\mathbb{R};
T\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right)=a_{11}+a_{12}+2 a_{21}+2 a_{22} ; \quad v=\left[\begin{array}{cc} 1 & -3 \\\\ 5 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá:
  • Espaços: V=M_{2}(\mathbb{R}) e W=\mathbb{R}.
  • Transformação linear T definida por
T\!\left(\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\right)=a_{11}+a_{12}+2a_{21}+2a_{22}.
  • Vetor (matriz) específico
v=\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix}.
A pergunta: verificar se v pertence ao núcleo de T (ou seja, se v\in\ker(T)).]

Passo 2

O que significa estar no núcleo de T?
  • Definição: \ker(T)=\{x\in V \mid T(x)=0\}, onde 0 é o elemento nulo em W. Aqui W=\mathbb{R}, logo o elemento nulo é o número 0.
  • Para uma matriz genérica \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} pertencer ao núcleo, ela precisa satisfazer a equação
a_{11}+a_{12}+2a_{21}+2a_{22}=0.
Isso é tudo: testar se v satisfaz essa equação.

Passo 3

Pegar os elementos de v (extraídos da matriz dada):
a_{11}=1,\qquad a_{12}=-3,\qquad a_{21}=5,\qquad a_{22}=2.

Passo 4

Substituir esses valores na expressão de T e calcular passo a passo:
T(v)=a_{11}+a_{12}+2a_{21}+2a_{22}
T(v)=1+(-3)+2\cdot 5+2\cdot 2.
Calculemos por etapas:
1+(-3)=-2,
2\cdot 5=10,\qquad 2\cdot 2=4,
-2+10+4 = 8+4 = 12.
Portanto
T(v)=12.

Passo 5

Interpretação do resultado:
  • Para v estar no núcleo precisaríamos ter T(v)=0.
  • Encontramos T(v)=12, e 12\neq 0.
    Logo v não satisfaz a condição para pertencer ao núcleo.

Resposta

Não, T(v)=12\neq 0.

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