Verifique se o vetor v \in V pertence ao núcleo da transformação linear T: V \rightarrow W, em cada caso:
V=M_{2}(\mathbb{R}) ; \quad W=\mathbb{R};
T\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right)=a_{11}+a_{12}+2 a_{21}+2 a_{22} ; \quad v=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\\\ 3 & -5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O espaço vetorial V=M_{2}(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 com entradas reais).
  • O espaço W=\mathbb{R}.
  • A transformação linear T:V\to W dada por
T\!\left(\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\right)=a_{11}+a_{12}+2a_{21}+2a_{22}.
  • O vetor (matriz) a ser verificado:
v=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt] 3 & -5\end{pmatrix}.
O que o enunciado pede: verificar se v pertence ao núcleo (núcleo = kernel) da transformação T. Em outras palavras, checar se T(v)=0 (o elemento zero em W, que aqui é 0\in\mathbb{R}).]

Passo 2

Conceito e estratégia para a prova (explicação didática e direta):
  • Definição do núcleo: o núcleo de T é
\ker(T)=\{x\in V \mid T(x)=0\}.
Ou seja, para saber se v\in\ker(T) basta calcular T(v) e verificar se o resultado é 0.
  • Como W=\mathbb{R}, o “zero” do espaço de chegada é o número real 0.
  • Portanto a estratégia na prova: identificar as entradas de v, substituir na fórmula de T e calcular passo a passo.

Passo 3

Extrair as entradas da matriz v (peguei estes números do enunciado):
a_{11}=1,\qquad a_{12}=3,\qquad a_{21}=3,\qquad a_{22}=-5.

Passo 4

Aplicar a definição de T substituindo as entradas acima:
T(v)=a_{11}+a_{12}+2a_{21}+2a_{22}=1+3+2\cdot 3+2\cdot(-5).

Passo 5

Fazer a conta passo a passo (para você poder reproduzir sem erro na prova):
1+3=4,
2\cdot 3=6,
2\cdot(-5)=-10.
Agora somando:
4+6=10,\qquad 10+(-10)=0.
Logo
T(v)=0.
Como T(v)=0, concluímos que v\in\ker(T).

Passo 6

Um passo extra de aprendizado (como encontrar todo o núcleo — útil na prova):
  • Escrevendo a condição geral T(A)=0 para uma matriz A=\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & w\end{pmatrix} obtém-se a equação linear
x+y+2z+2w=0.
  • Isso é uma equação linear entre quatro incógnitas; podemos tomar y,z,w como parâmetros livres e escrever
x=-y-2z-2w.
  • Assim a matriz genérica do núcleo é
\begin{pmatrix}-y-2z-2w & y\\[4pt] z & w\end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} +w\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Portanto \ker(T) é um subespaço de dimensão 3 com uma base, por exemplo, formada pelas três matrizes mostradas. (Isso ajuda a entender a estrutura do núcleo além de apenas testar um vetor.)]

Passo 7

Recapitulando e dica de prova: para verificar se uma matriz está no núcleo de uma transformação linear que é dada por uma expressão linear nas entradas, sempre substitua as entradas e calcule; se obtiver 0, pertence ao núcleo. Você fez certinho agora — respira, tá indo bem!

Resposta

Sim: v\in\ker(T)

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