Verifique se o vetor v \in V pertence ao núcleo da transformação linear T: V \rightarrow W, em cada caso:
V=\mathbb{R}^{3} ; \quad W=\mathbb{R}^{2} ; \quad T(x, y, z)=(x+y-z, 3 y+z) ; \quad v=(4,-1,3)

Passo 1

O enunciado nos dá claramente os seguintes dados e pergunta:
  • Espaços vetoriais: V=\mathbb{R}^{3} e W=\mathbb{R}^{2}.
  • Transformação linear: T:V\to W definida por
T(x,y,z)=(x+y-z,\;3y+z).
  • Vetor a testar: v=(4,-1,3).
  • Pergunta: verificar se v pertence ao núcleo (kernel) de T. Ou seja, checar se v satisfaz a condição que define o núcleo.

Passo 2

O que é o núcleo de T e como checar a pertença (explicação didática):
  • Definição: o núcleo de T, denotado por \ker(T), é o conjunto de todos os vetores em V que são enviados pelo operador T para o vetor nulo em W. Em fórmulas:
\ker(T)=\{u\in V \mid T(u)=0_W\},
onde 0_W é o vetor nulo de W. Aqui 0_W é o vetor (0,0) em \mathbb{R}^2.
  • Para verificar se um vetor específico v está no núcleo, basta aplicar T em v e ver se o resultado é o vetor nulo. Ou seja, calcular T(v) e checar se
T(v)=(0,0).
Essa é a estratégia prática que vamos usar.

Passo 3

Calcular a primeira componente de T(v) aplicando a fórmula de T ao vetor v=(4,-1,3).
  • A primeira componente de T(x,y,z) é x+y-z. Substituindo x=4, y=-1, z=3 temos:
x+y-z = 4 + (-1) - 3.
  • Fazer a conta passo a passo:
4 + (-1)=3, \qquad 3 - 3 = 0.
Portanto a primeira componente de T(v) é 0.

Passo 4

Calcular a segunda componente de T(v).
  • A segunda componente de T(x,y,z) é 3y+z. Substituindo y=-1 e z=3:
3y+z = 3\cdot(-1) + 3.
  • Fazer a conta passo a passo:
3\cdot(-1) = -3, \qquad -3 + 3 = 0.
Portanto a segunda componente de T(v) também é 0.

Passo 5

Reunir os resultados das componentes para obter T(v):
T(v) = (0,0).
Pelo critério do núcleo explicado no Passo 2, um vetor pertence a \ker(T) exatamente quando sua imagem por T é o vetor nulo em W. Como T(v)=(0,0), concluímos que v pertence ao núcleo de T. Força nos estudos — você mandou bem em seguir os passos!

Resposta

Sim, v\in\ker(T).

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