Verifique se o vetor
pertence ao núcleo da transformação linear
, em cada caso:
Passo 1
O enunciado nos dá claramente os seguintes dados e pergunta:
- Espaços vetoriais:
e . - Transformação linear:
definida por
- Vetor a testar:
. - Pergunta: verificar se
pertence ao núcleo (kernel) de . Ou seja, checar se satisfaz a condição que define o núcleo.
Passo 2
O que é o núcleo de
e como checar a pertença (explicação didática):
- Definição: o núcleo de
, denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são enviados pelo operador para o vetor nulo em . Em fórmulas:
onde
é o vetor nulo de
. Aqui
é o vetor
em
.
- Para verificar se um vetor específico
está no núcleo, basta aplicar em e ver se o resultado é o vetor nulo. Ou seja, calcular e checar se
Essa é a estratégia prática que vamos usar.
Passo 3
Calcular a primeira componente de
aplicando a fórmula de
ao vetor
.
- A primeira componente de
é . Substituindo , , temos:
- Fazer a conta passo a passo:
Portanto a primeira componente de
é
.
Passo 4
Calcular a segunda componente de
.
- A segunda componente de
é . Substituindo e :
- Fazer a conta passo a passo:
Portanto a segunda componente de
também é
.
Passo 5
Reunir os resultados das componentes para obter
:
Pelo critério do núcleo explicado no Passo 2, um vetor pertence a
exatamente quando sua imagem por
é o vetor nulo em
. Como
, concluímos que
pertence ao núcleo de
. Força nos estudos — você mandou bem em seguir os passos!
Resposta
Sim,
.