Verifique se o vetor v \in V pertence ao núcleo da transformação linear T: V \rightarrow W, em cada caso:
V=\mathbb{R}^{3} ; \quad W=\mathbb{R}^{2} ; \quad T(x, y, z)=(x+y-z, 3 y+z) ; \quad v=(1,-1,2)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • V=\mathbb{R}^{3}.
  • W=\mathbb{R}^{2}.
  • A transformação linear T:V\to W definida por T(x,y,z)=(x+y-z,\;3y+z).
  • O vetor v=(1,-1,2)\in V.
A pergunta é: verificar se v pertence ao núcleo de T; ou seja, decidir se v\in\ker(T).

Passo 2

Definição e ideia para testar: o núcleo (ou kernel) de T é o conjunto de todos os vetores de V que são enviados pelo operador T no vetor nulo de W. Em forma matemática:
\ker(T)=\{u\in V \mid T(u)=(0,0)\}.
Para verificar se um vetor v pertence ao núcleo, basta calcular T(v) e ver se o resultado é o vetor nulo (0,0) de W. Se T(v)=(0,0), então v\in\ker(T); caso contrário, v\notin\ker(T).

Passo 3

Calcular T(v) substituindo v=(1,-1,2) na fórmula de T.
T(1,-1,2)=\bigl(1+(-1)-2,\;3\cdot(-1)+2\bigr).
Agora fazemos as contas de cada componente, passo a passo:
  • Primeira componente: 1+(-1)-2 = 1-1-2 = 0-2 = -2.
  • Segunda componente: 3\cdot(-1)+2 = -3+2 = -1.
Portanto
T(1,-1,2)=(-2,-1).

Passo 4

Comparação com o vetor nulo de W: o vetor nulo em W é (0,0). Observamos que
T(1,-1,2)=(-2,-1)\neq(0,0).
Como T(v) não é o vetor nulo, concluímos que v não pertence ao núcleo de T.

Passo 5

Explicação extra (dica para prova): é útil conhecer a descrição geral do núcleo, isto ajuda a entender a estrutura. Resolver T(x,y,z)=(0,0)\) dá o sistema \[\begin{cases} x+y-z=0,\\[4pt] 3y+z=0. \end{cases}
Da segunda equação z=-3y\]. Substituindo na primeira: \[x+y-(-3y)=x+y+3y=x+4y=0\quad\Rightarrow\quad x=-4y.\] Logo os vetores do núcleo são da forma \[(x,y,z)=(-4y,\;y,\;-3y)=y(-4,1,-3),\] ou seja, \[\ker(T)=\operatorname{span}\{(-4,1,-3)\}.\] Como \(v=(1,-1,2) não é múltiplo de (-4,1,-3) (as coordenadas não permitem um mesmo escalar que transforme (-4,1,-3) em (1,-1,2)), isso confirma que v\notin\ker(T).]

Resposta

T(1,-1,2)=(-2,-1)\neq(0,0), portanto v\notin\ker(T).

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