Verifique se o vetor
pertence ao núcleo da transformação linear
, em cada caso:
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados:
-
. -
. - A transformação linear
definida por . - O vetor
.
A pergunta é: verificar se
pertence ao núcleo de
; ou seja, decidir se
.
Passo 2
Definição e ideia para testar: o núcleo (ou kernel) de
é o conjunto de todos os vetores de
que são enviados pelo operador
no vetor nulo de
. Em forma matemática:
Para verificar se um vetor
pertence ao núcleo, basta calcular
e ver se o resultado é o vetor nulo
de
. Se
, então
; caso contrário,
.
Passo 3
Calcular
substituindo
na fórmula de
.
Agora fazemos as contas de cada componente, passo a passo:
- Primeira componente:
. - Segunda componente:
.
Portanto
Passo 4
Comparação com o vetor nulo de
: o vetor nulo em
é
. Observamos que
Como
não é o vetor nulo, concluímos que
não pertence ao núcleo de
.
Passo 5
Explicação extra (dica para prova): é útil conhecer a descrição geral do núcleo, isto ajuda a entender a estrutura. Resolver
Da segunda equação
não é múltiplo de
(as coordenadas não permitem um mesmo escalar que transforme
em
), isso confirma que
.]