Verifique se os vetores \mathbf{a}=(1,2,-1), \mathbf{b}=(3,0,2) e \mathbf{c}=(5,4,0) são coplanares. Justifique sua resposta usando o produto misto.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3 e pede para verificar se eles são coplanares, justificando pela operação pedida. Dados:
\mathbf{a}=(1,2,-1)
\mathbf{b}=(3,0,2)
\mathbf{c}=(5,4,0)
O que se pede:
Verificar se \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} são coplanares.
Justificar a resposta usando o produto misto (isto é, a operação indicada no enunciado).
Passo 2
O que é coplanaridade e o que é o produto misto — explicação bem didática:
Três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se todos eles pertencem a um mesmo plano que passa pela origem (ou, equivalentemente, se um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois).
O produto misto de três vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} é o número real dado por \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).
Aqui \mathbf{b}\times\mathbf{c} é o produto vetorial (resultado é um vetor) e \mathbf{a}\cdot(\cdot) é o produto escalar (resultado é um número).
Geometricamente, o valor absoluto de \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) é o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores. Se esse volume for zero, os vetores estão todos em um mesmo plano (volume zero significa que não formam um “sólido” tridimensional).
Portanto, a verificação prática: calcular \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}). Se o resultado for 0, então os vetores são coplanares; se for diferente de 0, não são coplanares.
Passo 3
Fórmula prática para calcular o produto misto via determinante de 3\times3. Se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3), \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), \mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3), então
Como o produto misto representa o volume do paralelepípedo gerado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}, volume 0 significa que não há “espessura” no espaço tridimensional: os três vetores estão contidos em um mesmo plano.
Logo, pelo critério do produto misto, \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} são coplanares.
Passo 6
Verificação alternativa curta (opcional, para fixar como se faz o cálculo de \mathbf{b}\times\mathbf{c} e depois o escalar):
Calcule \mathbf{b}\times\mathbf{c} usando o determinante com os vetores canônicos: