Verifique se os vetores \mathbf{a}=(1,2,-1), \mathbf{b}=(3,0,2) e \mathbf{c}=(5,4,0) são coplanares. Justifique sua resposta usando o produto misto.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3 e pede para verificar se eles são coplanares, justificando pela operação pedida. Dados:
  • \mathbf{a}=(1,2,-1)
  • \mathbf{b}=(3,0,2)
  • \mathbf{c}=(5,4,0)
O que se pede:
  • Verificar se \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} são coplanares.
  • Justificar a resposta usando o produto misto (isto é, a operação indicada no enunciado).

Passo 2

O que é coplanaridade e o que é o produto misto — explicação bem didática:
  • Três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se todos eles pertencem a um mesmo plano que passa pela origem (ou, equivalentemente, se um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois).
  • O produto misto de três vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} é o número real dado por \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).
    • Aqui \mathbf{b}\times\mathbf{c} é o produto vetorial (resultado é um vetor) e \mathbf{a}\cdot(\cdot) é o produto escalar (resultado é um número).
    • Geometricamente, o valor absoluto de \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) é o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores. Se esse volume for zero, os vetores estão todos em um mesmo plano (volume zero significa que não formam um “sólido” tridimensional).
  • Portanto, a verificação prática: calcular \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}). Se o resultado for 0, então os vetores são coplanares; se for diferente de 0, não são coplanares.

Passo 3

Fórmula prática para calcular o produto misto via determinante de 3\times3. Se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3), \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), \mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3), então
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3\\[4pt] c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.
Vou aplicar isso substituindo os componentes dos vetores dados:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 3 & 0 & 2\\[4pt] 5 & 4 & 0 \end{vmatrix}.]

Passo 4

Cálculo do determinante passo a passo (expansão pela primeira linha):
\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 3 & 0 & 2\\[4pt] 5 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot \begin{vmatrix} 0 & 2\\[4pt] 4 & 0 \end{vmatrix} -2\cdot \begin{vmatrix} 3 & 2\\[4pt] 5 & 0 \end{vmatrix} +(-1)\cdot \begin{vmatrix} 3 & 0\\[4pt] 5 & 4 \end{vmatrix}.
Agora calculo cada menor 2\times2:
\begin{vmatrix} 0 & 2\\[4pt] 4 & 0 \end{vmatrix} =0\cdot 0 - 2\cdot 4 = -8,
\begin{vmatrix} 3 & 2\\[4pt] 5 & 0 \end{vmatrix} =3\cdot 0 - 2\cdot 5 = -10,
\begin{vmatrix} 3 & 0\\[4pt] 5 & 4 \end{vmatrix} =3\cdot 4 - 0\cdot 5 = 12.
Substituindo:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) =1\cdot(-8) - 2\cdot(-10) + (-1)\cdot 12 = -8 + 20 - 12 = 0.]

Passo 5

Interpretação do resultado (aulas prática e motivo para a prova):
  • Encontramos \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=0.
  • Como o produto misto representa o volume do paralelepípedo gerado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}, volume 0 significa que não há “espessura” no espaço tridimensional: os três vetores estão contidos em um mesmo plano.
  • Logo, pelo critério do produto misto, \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} são coplanares.

Passo 6

Verificação alternativa curta (opcional, para fixar como se faz o cálculo de \mathbf{b}\times\mathbf{c} e depois o escalar):
  • Calcule \mathbf{b}\times\mathbf{c} usando o determinante com os vetores canônicos:
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 3 & 0 & 2\\[4pt] 5 & 4 & 0 \end{vmatrix} = (-8)\mathbf{i} + 10\mathbf{j} + 12\mathbf{k},
ou seja \mathbf{b}\times\mathbf{c}=(-8,10,12).
  • Fazer o produto escalar com \mathbf{a}:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=(1,2,-1)\cdot(-8,10,12)=1\cdot(-8)+2\cdot 10+(-1)\cdot 12=-8+20-12=0,
chegando à mesma conclusão.]

Resposta

Sim. \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} são coplanares, pois \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=0.

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