Verifique que
e
, são equações paramétricas de uma parábola. Dê a equação cartesiana dessa parábola.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede duas coisas: verificar que essas equações paramétricas representam uma parábola e fornecer a equação cartesiana dessa parábola.
Informações fornecidas que vamos usar: as expressões explícitas de e
em função de
, e que
varia por todos os reais (
).
Informações fornecidas que vamos usar: as expressões explícitas de
Passo 2
Ideia para eliminar o parâmetro: isolar uma potência de
na expressão de
e substituir na expressão de
. Isso é válido porque as equações dão relações algébricas entre
; ao eliminar
obtemos a relação entre
e
(a equação cartesiana).
Da primeira equação temos diretamente
Quando precisamos de
, usamos a regra de potências:
. Portanto
Passo 3
Agora substituímos
e
na expressão de
:
Esta é a equação cartesiana obtida ao eliminar o parâmetro.
Passo 4
Verificação de que é uma parábola: a equação cartesiana encontrada é um polinômio quadrático em
dado por
Qualquer equação da forma
com
é uma parábola no plano
. Aqui
, logo é realmente uma parábola.
Passo 5
Para entender melhor a forma e o vértice da parábola, escrevemos a equação na forma completando o quadrado (forma vértice). Pegamos
Somamos e subtraímos
(que é
) para completar o quadrado:
Assim a parábola tem vértice em
e abre para cima (coeficiente de
positivo).
Passo 6
Comentário sobre a parametrização: como a função
é bijetora de
em
(cada
corresponde a um único
), a parametrização percorre cada ponto da parábola uma única vez quando
percorre
. Nas provas, quando receber uma parametrização do tipo “potência ímpar” é útil lembrar que ela cobre toda a reta dos
.
Passo 7
Exemplo rápido extra (para fixar a técnica): se tivéssemos
e
, então
e
— uma parábola óbvia. Se tivéssemos
e
, então
e
— outro exemplo de eliminação de parâmetro.