Verifique que x=t^{3} e y=t^{6}-4 t^{3}, t \in \mathbb{R}, são equações paramétricas de uma parábola. Dê a equação cartesiana dessa parábola.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=t^{3},\qquad y=t^{6}-4t^{3},\qquad t\in\mathbb{R},
e pede duas coisas: verificar que essas equações paramétricas representam uma parábola e fornecer a equação cartesiana dessa parábola.
Informações fornecidas que vamos usar: as expressões explícitas de x e y em função de t, e que t varia por todos os reais ( t\in\mathbb{R}).

Passo 2

Ideia para eliminar o parâmetro: isolar uma potência de t na expressão de x e substituir na expressão de y. Isso é válido porque as equações dão relações algébricas entre x,y,t; ao eliminar t obtemos a relação entre x e y (a equação cartesiana).
Da primeira equação temos diretamente
t^{3}=x.
Quando precisamos de t^{6}, usamos a regra de potências: (t^{3})^{2}=t^{6}. Portanto
t^{6}=(t^{3})^{2}=x^{2}.

Passo 3

Agora substituímos t^{3}=x e t^{6}=x^{2} na expressão de y:
y=t^{6}-4t^{3}=x^{2}-4x.
Esta é a equação cartesiana obtida ao eliminar o parâmetro.

Passo 4

Verificação de que é uma parábola: a equação cartesiana encontrada é um polinômio quadrático em x dado por
y=x^{2}-4x.
Qualquer equação da forma y=ax^{2}+bx+c com a\neq0 é uma parábola no plano xy. Aqui a=1\neq0, logo é realmente uma parábola.

Passo 5

Para entender melhor a forma e o vértice da parábola, escrevemos a equação na forma completando o quadrado (forma vértice). Pegamos
y=x^{2}-4x.
Somamos e subtraímos 4 (que é (\tfrac{4}{2})^{2}) para completar o quadrado:
y=(x^{2}-4x+4)-4=(x-2)^{2}-4.
Assim a parábola tem vértice em (2,-4) e abre para cima (coeficiente de x^{2} positivo).

Passo 6

Comentário sobre a parametrização: como a função t\mapsto t^{3} é bijetora de \mathbb{R} em \mathbb{R} (cada x\in\mathbb{R} corresponde a um único t=\sqrt[3]{x}), a parametrização percorre cada ponto da parábola uma única vez quando t percorre \mathbb{R}. Nas provas, quando receber uma parametrização do tipo “potência ímpar” é útil lembrar que ela cobre toda a reta dos x.

Passo 7

Exemplo rápido extra (para fixar a técnica): se tivéssemos x=t e y=t^{2}, então t=x e y=x^{2} — uma parábola óbvia. Se tivéssemos x=2t e y=t^{2}, então t=x/2 e y=(x/2)^{2}=x^{2}/4 — outro exemplo de eliminação de parâmetro.

Resposta

y=x^{2}-4x

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