1. O vetor obtido pelo produto vetorial entre os vetores \vec{u}=(1,-1,-1) e \vec{v}= (1,1,-1) é:
    a) 2 \vec{i}+2 \vec{j}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,-1,-1) e \vec{v}=(1,1,-1) e pergunta qual é o vetor obtido pelo produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Foi fornecida a alternativa (a) 2\vec{i}+2\vec{j}, que corresponde ao vetor (2,2,0). Vamos calcular o produto vetorial e verificar se a alternativa (a) está correta.

Passo 2

O que é o produto vetorial e como calculá-lo?
O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} entre dois vetores em \mathbb{R}^3 é um vetor perpendicular a ambos \vec{u} e \vec{v}. Uma forma prática de calcular é usar a expansão por determinante com os versores \vec{i},\vec{j},\vec{k}:
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.
Isso significa que as componentes são dadas por:
(\vec{u}\times\vec{v})_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2,
(\vec{u}\times\vec{v})_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3,
(\vec{u}\times\vec{v})_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1.
Aqui u_1,u_2,u_3 são as componentes de \vec{u} e v_1,v_2,v_3 as de \vec{v}.

Passo 3

Aplicando as fórmulas às componentes de \vec{u}=(1,-1,-1) e \vec{v}=(1,1,-1):
Para a componente x (ou along \vec{i}):
(\vec{u}\times\vec{v})_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2 = (-1)\cdot(-1) - (-1)\cdot 1.
Calculemos passo a passo:
(-1)\cdot(-1)=1,\qquad (-1)\cdot 1 = -1,
1 - (-1) = 1 + 1 = 2.
Portanto a componente x é 2.

Passo 4

Para a componente y (ou along \vec{j}):
(\vec{u}\times\vec{v})_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 = (-1)\cdot 1 - 1\cdot(-1).
Calculemos:
(-1)\cdot 1 = -1,\qquad 1\cdot(-1) = -1,
-1 - (-1) = -1 + 1 = 0.
Portanto a componente y é 0.

Passo 5

Para a componente z (ou along \vec{k}):
(\vec{u}\times\vec{v})_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1 = 1\cdot 1 - (-1)\cdot 1.
Calculemos:
1\cdot 1 = 1,\qquad (-1)\cdot 1 = -1,
1 - (-1) = 1 + 1 = 2.
Portanto a componente z é 2.

Passo 6

Juntando as componentes obtemos
\vec{u}\times\vec{v} = 2\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k} = 2\vec{i} + 2\vec{k}.
Como verificação rápida: o produto escalar de \vec{u} com este resultado deve ser zero (perpendicularidade):
\vec{u}\cdot(2,0,2) = 1\cdot 2 + (-1)\cdot 0 + (-1)\cdot 2 = 2 + 0 -2 = 0.
E com \vec{v}:
\vec{v}\cdot(2,0,2) = 1\cdot 2 + 1\cdot 0 + (-1)\cdot 2 = 2 + 0 -2 = 0.
Ambos são zero, portanto o resultado faz sentido.

Passo 7

Comparando com a alternativa (a), que era 2\vec{i}+2\vec{j} (ou seja (2,2,0)), vemos que não é igual ao vetor correto (2,0,2). Logo a alternativa (a) está errada.

Resposta

2\vec{i}+2\vec{k}

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