1. O vetor obtido pelo produto vetorial entre os vetores \vec{u}=(1,1,1) e \vec{v}= (-1,0,-1) é:
    a) -\vec{i}+\vec{k}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,1,1) e \vec{v}=(-1,0,-1) e pede o vetor obtido pelo produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Vou listar claramente o que é pedido e os dados:
  • Dados: \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(-1,0,-1).
  • Pedido: calcular \vec{u}\times\vec{v}.

Passo 2

Vamos relembrar o que é produto vetorial e como calculá-lo de forma prática:
  • O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a \vec{u} e a \vec{v}.
  • Computacionalmente, usa-se a expansão por determinante com os versores \vec{i},\vec{j},\vec{k}:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.
Aqui u_1,u_2,u_3 são as componentes de \vec{u} e v_1,v_2,v_3 as de \vec{v}.

Passo 3

Substituindo as componentes de \vec{u} e \vec{v} na expressão em determinante:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}.

Passo 4

Calcular o termo correspondente a \vec{i} (expandindo pela primeira coluna):
\text{componente em }\vec{i} = \vec{i}\big(1\cdot(-1)-1\cdot 0\big).
Fazendo a conta dentro do parêntese:
1\cdot(-1)-1\cdot 0 = -1-0 = -1.
Portanto o termo em \vec{i} é \vec{i}\cdot(-1).

Passo 5

Calcular o termo correspondente a \vec{j} (atenção ao sinal): a expansão dá um sinal negativo no meio:
\text{termo em }\vec{j} = -\vec{j}\big(1\cdot(-1)-1\cdot(-1)\big).
Fazendo a conta dentro do parêntese:
1\cdot(-1)-1\cdot(-1) = -1 - (-1) = 0.
Logo o termo em \vec{j} é -\vec{j}\cdot 0 = \vec{0} (ou seja, componente zero).

Passo 6

Calcular o termo correspondente a \vec{k}:
\text{termo em }\vec{k} = \vec{k}\big(1\cdot 0 - 1\cdot(-1)\big).
Fazendo a conta:
1\cdot 0 - 1\cdot(-1) = 0 - (-1) = 1.
Portanto o termo em \vec{k} é \vec{k}\cdot 1.

Passo 7

Agora temos as três componentes individuais do produto vetorial (sem montar a forma final aqui): componente em \vec{i} é -1, em \vec{j} é 0 e em \vec{k} é 1.
Verificação rápida de perpendicularidade (confirmação de que o cálculo está coerente): calcular o produto escalar das componentes encontradas com \vec{u} e com \vec{v}.
  • Com \vec{u}: (-1)\cdot 1 + 0\cdot 1 + 1\cdot 1 = -1 + 0 + 1 = 0.
  • Com \vec{v}: (-1)\cdot(-1) + 0\cdot 0 + 1\cdot(-1) = 1 + 0 -1 = 0.
    Ambos dão zero, ou seja, o vetor resultante é perpendicular a \vec{u} e \vec{v}, como deve ser.

Resposta

-\vec{i}+\vec{k}

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