O vetor obtido pelo produto vetorial entre os vetores \vec{u}=(1,1,1) e \vec{v}= (-1,0,-1) é:
a) -\vec{i}+\vec{k}
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,1,1) e \vec{v}=(-1,0,-1) e pede o vetor obtido pelo produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Vou listar claramente o que é pedido e os dados:
Dados: \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(-1,0,-1).
Pedido: calcular \vec{u}\times\vec{v}.
Passo 2
Vamos relembrar o que é produto vetorial e como calculá-lo de forma prática:
O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a \vec{u} e a \vec{v}.
Computacionalmente, usa-se a expansão por determinante com os versores \vec{i},\vec{j},\vec{k}:
Calcular o termo correspondente a \vec{i} (expandindo pela primeira coluna):
\text{componente em }\vec{i} = \vec{i}\big(1\cdot(-1)-1\cdot 0\big).
Fazendo a conta dentro do parêntese:
1\cdot(-1)-1\cdot 0 = -1-0 = -1.
Portanto o termo em \vec{i} é \vec{i}\cdot(-1).
Passo 5
Calcular o termo correspondente a \vec{j} (atenção ao sinal): a expansão dá um sinal negativo no meio:
\text{termo em }\vec{j} = -\vec{j}\big(1\cdot(-1)-1\cdot(-1)\big).
Fazendo a conta dentro do parêntese:
1\cdot(-1)-1\cdot(-1) = -1 - (-1) = 0.
Logo o termo em \vec{j} é -\vec{j}\cdot 0 = \vec{0} (ou seja, componente zero).
Passo 6
Calcular o termo correspondente a \vec{k}:
\text{termo em }\vec{k} = \vec{k}\big(1\cdot 0 - 1\cdot(-1)\big).
Fazendo a conta:
1\cdot 0 - 1\cdot(-1) = 0 - (-1) = 1.
Portanto o termo em \vec{k} é \vec{k}\cdot 1.
Passo 7
Agora temos as três componentes individuais do produto vetorial (sem montar a forma final aqui): componente em \vec{i} é -1, em \vec{j} é 0 e em \vec{k} é 1.
Verificação rápida de perpendicularidade (confirmação de que o cálculo está coerente): calcular o produto escalar das componentes encontradas com \vec{u} e com \vec{v}.
Com \vec{v}: (-1)\cdot(-1) + 0\cdot 0 + 1\cdot(-1) = 1 + 0 -1 = 0.
Ambos dão zero, ou seja, o vetor resultante é perpendicular a \vec{u} e \vec{v}, como deve ser.