Você já imaginou a velocidade com que uma notícia, corrente, foto, vídeo se espalha pelas redes sociais? Suponha que, em certo dia, dois amigos criaram um blog sobre saúde e bem-estar, com dicas, receitas de comidas saudáveis, relatos de experiências pessoais e etc. No dia seguinte, cada um desses amigos convidou três novos amigos para visitar o blog. Cada um desses três novos amigos convidou, no outro dia, três outros amigos para visitar o blog e assim sucessivamente. Suponha que o padrão seja mantido, e que ninguém seja convidado mais de uma vez a visitar o blog. Responda:
a) Começando pelo dia que o blog foi criado, escreva a sequência que representa o número diário de visitantes do blog.
b) Responda: qual a regularidade que você observa nesta sequência?
c) Quantos visitantes o blog receberá no décimo dia de criação dele?
d) Quantas pessoas terá visitado o blog em dez dias?

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte situação e pede quatro coisas:
  • Informação dada:
    • No dia em que o blog foi criado, havia os dois amigos (os criadores).
    • No dia seguinte, cada um desses dois convidou três novos amigos.
    • A cada dia seguinte, cada visitante do dia anterior convida três novos visitantes.
    • Ninguém é convidado mais de uma vez (portanto todos os visitantes são distintos).
  • Perguntas:
    (a) Começando pelo dia que o blog foi criado, escrever a sequência que representa o número diário de visitantes do blog.
    (b) Determinar a regularidade observada nessa sequência.
    (c) Quantos visitantes o blog receberá no décimo dia de criação?
    (d) Quantas pessoas terão visitado o blog ao final de dez dias (soma dos primeiros dez dias)?

Passo 2

Vamos listar os primeiros termos do número diário de visitantes, seguindo exatamente o que o enunciado diz.
  • No dia de criação (dia 1) os visitantes são os dois amigos fundadores: 2.
  • No dia 2: cada um dos 2 convida 3 novos, então aparecem 2\cdot 3 = 6 visitantes.
  • No dia 3: cada um dos 6 convida 3, logo 6\cdot 3 = 18 visitantes.
  • No dia 4: 18\cdot 3 = 54 visitantes.
Assim a sequência dos números diários de visitantes, começando pelo dia 1, é
2,\;6,\;18,\;54,\;\dots

Passo 3

Observação da regularidade: note que cada termo (a partir do segundo) é obtido multiplicando o termo anterior por 3. Em outras palavras, a sequência é multiplicada por 3 a cada dia.
Agora formalizamos isso usando a fórmula de uma sequência geométrica. Uma sequência geométrica é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão. Se chamarmos:
  • a_1 o primeiro termo da sequência (número de visitantes do dia 1),
  • r a razão (o fator pelo qual multiplicamos a cada passo),
  • a_n o termo no dia n,
então o termo geral é dado por
a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}.
Explicando as variáveis:
  • a_n = número de visitantes no dia n;
  • a_1 = número de visitantes no dia 1;
  • r = razão (neste problema, o número pelo qual multiplicamos a cada dia);
  • n = índice do dia (inteiro positivo).
No nosso caso a_1=2 e r=3. Portanto a sequência é uma progressão geométrica com esses parâmetros.

Passo 4

Usando a fórmula a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}, vamos calcular o número de visitantes no décimo dia ( n=10).
Primeiro escrevemos a expressão:
a_{10} = 2 \cdot 3^{\,9}.
Agora calculamos 3^{9} passo a passo (sem usar calculadora):
3^1=3,\quad 3^2=9,\quad 3^3=27,\quad 3^4=81,\quad 3^5=243,
3^6=729,\quad 3^7=2187,\quad 3^8=6561,\quad 3^9=19683.
Multiplicando por 2:
a_{10} = 2\cdot 19683 = 39366.
Portanto no décimo dia haverá 39366 visitantes.

Passo 5

Agora queremos a soma dos visitantes ao longo dos primeiros dez dias. Como a sequência é geométrica, usamos a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica:
Se S_n é a soma dos n primeiros termos, então
S_n = a_1 \cdot \frac{r^{\,n}-1}{r-1},
onde a_1, r e n têm os significados já explicados. (Breve justificativa: multiplicando S_n por r e subtraindo obtém-se uma expressão que cancela termos intermediários, levando à fórmula acima.)
Aplicando com a_1=2, r=3 e n=10:
S_{10} = 2 \cdot \frac{3^{10}-1}{3-1}.
Calculamos 3^{10} usando o 3^9 que já temos:
3^{10} = 3\cdot 3^{9} = 3\cdot 19683 = 59049.
Substituindo,
S_{10} = 2\cdot \frac{59049-1}{2} = 2\cdot \frac{59048}{2} = 59048.
Portanto, ao final de dez dias, terão visitado o blog 59048 pessoas no total. (Como ninguém é convidado duas vezes, essa soma conta pessoas distintas.)

Passo 6

Resumo rápido para memorizar na hora da prova:
  • Sequência diária: comece com a_1 e multiplique pela razão r a cada dia.
  • Termo geral: a_n = a_1 r^{\,n-1}.
  • Soma dos n primeiros: S_n = a_1 \dfrac{r^{\,n}-1}{r-1}.
Força aí — com esse padrão dá para responder perguntas como essa bem rápido!

Resposta

(a) 2,\,6,\,18,\,54,\,\dots
(b) A sequência é uma progressão geométrica de razão 3.
(c) 39366
(d) 59048

Exercícios relacionados