Você já imaginou a velocidade com que uma notícia, corrente, foto, vídeo se espalha pelas redes sociais? Suponha que, em certo dia, dois amigos criaram um blog sobre saúde e bem-estar, com dicas, receitas de comidas saudáveis, relatos de experiências pessoais e etc. No dia seguinte, cada um desses amigos convidou três novos amigos para visitar o blog. Cada um desses três novos amigos convidou, no outro dia, três outros amigos para visitar o blog e assim sucessivamente. Suponha que o padrão seja mantido, e que ninguém seja convidado mais de uma vez a visitar o blog. Responda:
a) Começando pelo dia que o blog foi criado, escreva a sequência que representa o número diário de visitantes do blog.
b) Responda: qual a regularidade que você observa nesta sequência?
c) Quantos visitantes o blog receberá no décimo dia de criação dele?
d) Quantas pessoas terá visitado o blog em dez dias?
a) Começando pelo dia que o blog foi criado, escreva a sequência que representa o número diário de visitantes do blog.
b) Responda: qual a regularidade que você observa nesta sequência?
c) Quantos visitantes o blog receberá no décimo dia de criação dele?
d) Quantas pessoas terá visitado o blog em dez dias?
Passo 1
O enunciado nos dá a seguinte situação e pede quatro coisas:
-
Informação dada:
- No dia em que o blog foi criado, havia os dois amigos (os criadores).
- No dia seguinte, cada um desses dois convidou três novos amigos.
- A cada dia seguinte, cada visitante do dia anterior convida três novos visitantes.
- Ninguém é convidado mais de uma vez (portanto todos os visitantes são distintos).
-
Perguntas:
(a) Começando pelo dia que o blog foi criado, escrever a sequência que representa o número diário de visitantes do blog.
(b) Determinar a regularidade observada nessa sequência.
(c) Quantos visitantes o blog receberá no décimo dia de criação?
(d) Quantas pessoas terão visitado o blog ao final de dez dias (soma dos primeiros dez dias)?
Passo 2
Vamos listar os primeiros termos do número diário de visitantes, seguindo exatamente o que o enunciado diz.
- No dia de criação (dia 1) os visitantes são os dois amigos fundadores:
. - No dia 2: cada um dos
convida novos, então aparecem visitantes. - No dia 3: cada um dos
convida , logo visitantes. - No dia 4:
visitantes.
Assim a sequência dos números diários de visitantes, começando pelo dia 1, é
Passo 3
Observação da regularidade: note que cada termo (a partir do segundo) é obtido multiplicando o termo anterior por
. Em outras palavras, a sequência é multiplicada por
a cada dia.
Agora formalizamos isso usando a fórmula de uma sequência geométrica. Uma sequência geométrica é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão. Se chamarmos:
-
o primeiro termo da sequência (número de visitantes do dia ), -
a razão (o fator pelo qual multiplicamos a cada passo), -
o termo no dia ,
então o termo geral é dado por
Explicando as variáveis:
-
= número de visitantes no dia ; -
= número de visitantes no dia 1; -
= razão (neste problema, o número pelo qual multiplicamos a cada dia); -
= índice do dia (inteiro positivo).
No nosso caso
e
. Portanto a sequência é uma progressão geométrica com esses parâmetros.
Passo 4
Usando a fórmula
, vamos calcular o número de visitantes no décimo dia (
).
Primeiro escrevemos a expressão:
Agora calculamos
passo a passo (sem usar calculadora):
Multiplicando por
:
Portanto no décimo dia haverá
visitantes.
Passo 5
Agora queremos a soma dos visitantes ao longo dos primeiros dez dias. Como a sequência é geométrica, usamos a fórmula da soma dos
primeiros termos de uma progressão geométrica:
Se
é a soma dos
primeiros termos, então
onde
,
e
têm os significados já explicados. (Breve justificativa: multiplicando
por
e subtraindo obtém-se uma expressão que cancela termos intermediários, levando à fórmula acima.)
Aplicando com
,
e
:
Calculamos
usando o
que já temos:
Substituindo,
Portanto, ao final de dez dias, terão visitado o blog
pessoas no total. (Como ninguém é convidado duas vezes, essa soma conta pessoas distintas.)
Passo 6
Resumo rápido para memorizar na hora da prova:
- Sequência diária: comece com
e multiplique pela razão a cada dia. - Termo geral:
. - Soma dos
primeiros: .
Força aí — com esse padrão dá para responder perguntas como essa bem rápido!
Resposta
(a)
(b) A sequência é uma progressão geométrica de razão
.
(c)
(d)