Você está tocando uma nota com frequência fundamental de 400 Hz em uma corda de guitarra com 50 cm de comprimento. Simultaneamente, um colega toca uma nota fundamental em um tubo aberto de órgão, e ouve 4 batimentos por segundo. A massa por unidade de comprimento da corda é de 2 \mathrm{~g} / \mathrm{m}. Considere que a velocidade do som no ar
seja de 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. a) Quais são as possíveis frequências do tubo aberto de órgão? b) Quando a corda de guitarra é apertada, a frequência de batimento diminui. Determine a tensão original da corda. c) Qual é o comprimento do tubo aberto de órgão?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (pegos do enunciado):
A corda da guitarra tem frequência fundamental \,f_{\text{corda}}=400\\ \text{Hz}.
O comprimento da corda é \,L_{\text{corda}}=50\\ \text{cm}=0,50\\ \mathrm{m}.
A massa por unidade de comprimento da corda é \,\mu=2\\ \mathrm{g/m}=0,002\\ \mathrm{kg/m}.
O órgão (tubo aberto) produz sua nota fundamental simultaneamente e são ouvidos 4 batimentos por segundo (ou seja, frequência de batimento =4\\ \text{Hz}).
A velocidade do som no ar é \,v_{\text{ar}}=343\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
a) Quais são as possíveis frequências da nota fundamental do tubo aberto?
b) Sabendo que, ao apertar a corda (aumentar sua tensão), a frequência de batimento diminui, determine a tensão original da corda.
c) Qual é o comprimento do tubo aberto?
Passo 2
Entender o fenômeno de batimentos e encontrar as possíveis frequências do tubo.
A definição de batimentos: quando duas fontes sonoras de frequências próximas f_1 e f_2 são ouvidas juntas, a taxa de variação da amplitude (batimentos) é dada por
f_{\text{bat}}=\big|f_1-f_2\big|.
Aqui temos f_{\text{bat}}=4\\ \text{Hz} e f_1=f_{\text{corda}}=400\\ \text{Hz}. Se chamarmos f_{\text{tubo}} a frequência do tubo, então
Portanto, as possíveis frequências do tubo aberto são \,396\\ \text{Hz} e \,404\\ \text{Hz}.
Passo 3
Usar a informação adicional: ao apertar a corda a frequência de batimento diminui, para decidir qual das duas opções é a correta.
Importante: apertar a corda aumenta a tensão T da corda. A frequência da corda aumenta quando a tensão aumenta (veremos a fórmula depois). Então f_{\text{corda}} sobe se apertarmos.
Se f_{\text{tubo}}=396\\ \text{Hz}: inicialmente a diferença é |396-400|=4. Ao aumentar f_{\text{corda}} (por exemplo para 402), a diferença passa a |396-402|=6, ou seja, o batimento aumentaria — contradiz o enunciado.
Se f_{\text{tubo}}=404\\ \text{Hz}: inicialmente |404-400|=4. Ao aumentar f_{\text{corda}} em direção a 404, a diferença diminui (por exemplo, para |404-402|=2), ou seja, o batimento diminui — isto concorda com o enunciado.
Conclusão: a frequência real do tubo é \,404\\ \text{Hz}. (A outra opção 396\\ \text{Hz} era matematicamente possível apenas se não tivéssemos a pista do efeito da afinação.)
Passo 4
Derivar a fórmula que relaciona a frequência fundamental da corda com a tensão e a densidade linear, e isolar a tensão.
Para uma corda fixa nas duas extremidades, a velocidade da onda transversal na corda é
v_{\text{corda}}=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}},
onde:
T é a tensão da corda (em N),
\mu é a massa por unidade de comprimento (em \mathrm{kg/m}).
A frequência fundamental (modo mais grave) da corda fixa em dois extremos é
Aqui expliquei cada passo: primeiro usei relação velocidade-tensão, depois relação frequência-velocidade para o modo fundamental e finalmente algebra para obter T.
Passo 5
Calcular numericamente a tensão original da corda usando a fórmula encontrada.
Em centímetros isso é aproximadamente 42,45\\ \mathrm{cm}. Podemos arredondar para 0,425\\ \mathrm{m} (ou 42,5\\ \mathrm{cm}) dependendo do número de algarismos significativos desejado.
Resposta
a) 396\\ \text{Hz} ou 404\\ \text{Hz}
b) 320\\ \mathrm{N}
c) 0,4245\\ \mathrm{m} (aprox. 42,5\\ \mathrm{cm})