Se z=5 x^{2}+x y+y^{2} e (x, y) varia de (1,-2) a (1.05, -2.02), compare os valores de \Delta z e d z.

Passo 1

O enunciado fornece a função z=5x^{2}+xy+y^{2} e pede que a gente compare o incremento real \Delta z com o diferencial aproximado dz quando (x,y) varia de (1,-2) para (1{,}05,-2{,}02).
Informações dadas (resumidas):
\begin{aligned} &\text{Função: } z(x,y)=5x^{2}+xy+y^{2},\\\ &\text{Ponto inicial: }(x_0,y_0)=(1,-2),\\\ &\text{Ponto final: }(x_1,y_1)=(1{,}05,-2{,}02). \end{aligned}çã
As perguntas implícitas são: calcular \Delta z=z(x_1,y_1)-z(x_0,y_0) e calcular o diferencial dz em (x_0,y_0) usando dx=x_1-x_0 e dy=y_1-y_0, e então comparar os valores.

Passo 2

Calculo primeiro os incrementos das variáveis:
\Delta x = x_1-x_0 = 1{,}05-1 = 0{,}05,
\Delta y = y_1-y_0 = -2{,}02-(-2) = -0{,}02.
Aqui estou apenas subtraindo coordenadas: \Delta x=0{,}05 e \Delta y=-0{,}02.

Passo 3

Agora calculo o incremento real \Delta z avaliando z nos dois pontos.
Avalio primeiro em (1,-2):
z(1,-2)=5\cdot 1^{2}+1\cdot(-2)+(-2)^{2}=5-2+4=7.
Avalio em (1{,}05,-2{,}02). Faço cada termo separado:
x^{2}=(1{,}05)^{2}=1{,}1025,
5x^{2}=5\cdot 1{,}1025=5{,}5125,
xy=1{,}05\cdot(-2{,}02)=-2{,}121,
y^{2}=(-2{,}02)^{2}=4{,}0804.
Somando:
z(1{,}05,-2{,}02)=5{,}5125-2{,}121+4{,}0804=7{,}4719.
Portanto
\Delta z = z(1{,}05,-2{,}02)-z(1,-2)=7{,}4719-7=0{,}4719.

Passo 4

Explico o que é o diferencial dz e como calculá-lo (aula rápida e prática): para uma função z=z(x,y), o diferencial total em um ponto (x_0,y_0) é a aproximação linear do incremento por
dz = \frac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0)\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}(x_0,y_0)\,dy.
Aqui dx e dy são os incrementos das variáveis (na prática usamos dx=\Delta x e dy=\Delta y quando queremos aproximar). A ideia é que dz pega só os termos lineares em \Delta x,\Delta y e ignora termos quadráticos e superiores — por isso é uma aproximação.

Passo 5

Calculo as derivadas parciais de z:
\frac{\partial z}{\partial x}=10x+y,
\frac{\partial z}{\partial y}=x+2y.
Agora avalio em (x_0,y_0)=(1,-2):
\frac{\partial z}{\partial x}(1,-2)=10\cdot 1+(-2)=8,
\frac{\partial z}{\partial y}(1,-2)=1+2\cdot(-2)=1-4=-3.
Usando dx=\Delta x=0{,}05 e dy=\Delta y=-0{,}02, obtemos
dz = 8\cdot 0{,}05 + (-3)\cdot(-0{,}02)=0{,}40+0{,}06=0{,}46.

Passo 6

Comparação numérica:
\Delta z = 0{,}4719,\qquad dz = 0{,}46.
A diferença é
\Delta z - dz = 0{,}0119,
ou seja, \Delta z é um pouco maior que dz. Em termos relativos a diferença é pequena (cerca de 2{,}5\%), então dz é uma boa aproximação para este pequeno movimento.

Passo 7

Para entender por que há essa diferença podemos ver a expansão de Taylor truncada. A expansão até segunda ordem em torno de (x_0,y_0) diz
\Delta z = dz + \frac{1}{2}\left(z_{xx}(\Delta x)^{2} + 2z_{xy}\Delta x\Delta y + z_{yy}(\Delta y)^{2}\right) + \text{termos de ordem superior}.
Aqui as segundas derivadas são (calculo rápido):
z_{xx}=10,\quad z_{xy}=1,\quad z_{yy}=2.
Substituindo \Delta x=0{,}05 e \Delta y=-0{,}02:
\frac{1}{2}\Big(10(0{,}05)^{2}+2\cdot 1\cdot 0{,}05\cdot(-0{,}02)+2( -0{,}02)^{2}\Big)
=\frac{1}{2}\Big(10\cdot 0{,}0025 + 2\cdot(-0{,}001)+2\cdot 0{,}0004\Big)
=\frac{1}{2}\Big(0{,}025 -0{,}002 +0{,}0008\Big)=\frac{1}{2}\cdot 0{,}0238=0{,}0119.
Esse é exatamente \Delta z - dz. Conclusão: a diferença vem do termo quadrático da expansão; como \Delta x,\Delta y são pequenos, esse termo é pequeno e dz é uma boa aproximação.

Resposta

\Delta z=0{,}4719
dz=0{,}46
\Delta z-dz=0{,}0119

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