Se
e
varia de
a (1.05, -2.02), compare os valores de
e
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede que a gente compare o incremento real
com o diferencial aproximado
quando
varia de
para
.
Informações dadas (resumidas):
As perguntas implícitas são: calcular
e calcular o diferencial
em
usando
e
, e então comparar os valores.
Passo 2
Calculo primeiro os incrementos das variáveis:
Aqui estou apenas subtraindo coordenadas:
e
.
Passo 3
Agora calculo o incremento real
avaliando
nos dois pontos.
Avalio primeiro em
:
Avalio em
. Faço cada termo separado:
Somando:
Portanto
Passo 4
Explico o que é o diferencial
e como calculá-lo (aula rápida e prática): para uma função
, o diferencial total em um ponto
é a aproximação linear do incremento por
Aqui
e
são os incrementos das variáveis (na prática usamos
e
quando queremos aproximar). A ideia é que
pega só os termos lineares em
e ignora termos quadráticos e superiores — por isso é uma aproximação.
Passo 5
Calculo as derivadas parciais de
:
Agora avalio em
:
Usando
e
, obtemos
Passo 6
Comparação numérica:
A diferença é
ou seja,
é um pouco maior que
. Em termos relativos a diferença é pequena (cerca de
), então
é uma boa aproximação para este pequeno movimento.
Passo 7
Para entender por que há essa diferença podemos ver a expansão de Taylor truncada. A expansão até segunda ordem em torno de
diz
Aqui as segundas derivadas são (calculo rápido):
Substituindo
e
:
Esse é exatamente
. Conclusão: a diferença vem do termo quadrático da expansão; como
são pequenos, esse termo é pequeno e
é uma boa aproximação.