Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Tranferência de Calor - Capítulo 4.Problemas - Ex. 56

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Uma batata ( ρ = 1.100   k g / m 3 ,   c p = 3.900   J / k g ⋅ K ,   k = 0,6   W / m ⋅ K   e   α = 1,4 × 10 - 7   m 2 / s ) de 9   c m de diâmetro, que está inicialmente a uma temperatura uniforme de 25 ℃ , é assada em um forno a 170 ℃ até o sensor de termperatura inserido no centro da batata indicar a leitura de 70 ℃ . A batata é, então, retirada do forno e embrulhada em grossas toalhas, de modo que quase não há perda de calor a partir da batata assada. Considere que o coeficiente de transferência de calor é 40   W / m 2 ⋅ K , determine a por quanto tempo a batata é cozida no formo e b a temperatura final de equilíbrio da batata após ser embalada.

Passo 1

Coeficiente de transferência de calor: h = 40   W / m 2 ⋅ K

Densidade da batata: ρ = 1.100   k g / m 3

Calor específico: c p = 3.900   J / k g ⋅ K

Condutividade térmica: k = 0,6   W / m ⋅ K

Difusividade térmica: α = 1,4 × 10 - 7   m 2 / s

Diâmetro da batata: D = 9   c m = 0,09   m

Raio da batata: r o = 0,045   m

Temperatura inicial: T i = 25 ℃

Temperatura do forno: T ∞ = 170 ℃

Temperatura no centro da batata: T t = 70 ℃

Premissas:

A condução de calor na batata é unidimensional por causa da simetria sobre o ponto médio.

As propriedades térmicas da batata são constantes.

Passo 2

a) Para resolver essa questão, podemos começar calculando o número do Biot. Assim temos:

B i = h r o k

Substituindo os valores fornecidos, temos:

B i = 40   W / m 2 ⋅ K × 0,045   m 0,6   W / m ⋅ K

B i = 3

Com o numero de Biot, podemos encontrar a constantes λ 1 e A 1 na tabela 4-2. Pela tabela temos que:

λ 1 = 2,2889

A 1 = 1,6227

Passo 3

Agora, com as constantes encontradas, podemos calcular o número de Fourier usando a seguinte expressão:

θ o , e s f e r a = T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Aqui  T o é a temperatura no centro da batata,  T ∞ é a temperatura ambiente no forno,  T i é a temperatura inicial da batata. Substituindo os valores temos:

70 ℃ - 170 ℃ 25 ℃ - 170 ℃ = 1,6227 e - 2,2889 2 τ

0,6896 = 1,6227 e - 5,2391 τ

e - 5,2391 τ = 0,425

τ = ln ⁡ 0,425 - 5,2391

τ = 0,1633

Como o Fourier está um pouco abaixo do valor de 0,2 , portanto, a solução aproximada de termo único (ou os gráficos de temperatura transitória) ainda pode ser usada, com o entendimento de que o erro envolvido será um pouco mais de 2%.

Passo 4

Com o número Fourier, podemos calcular o tempo de cozimento das batatas. Assim, o tempo é determinado usando a seguinte relação:

t = τ r o 2 α

Aqui,  r o é o raio da batata,  α é a difusividade térmica da batata. Substituindo os termos, temos:

t = 0,1633 × 0,045   m 2 1,4 × 10 - 7   m 2 / s

t = 2362,34   s

t = 39,37   m i n

Assim, o tempo de cozimento da batata no formo é  39,37   m i n .

Passo 5

b) Vamos começar calculando a massa da batata. Assim temos:

m = ρ V

m = ρ 4 3 π r o 3  

m = 4 π 3 × 1.100   k g / m 3 × 0,045   m 3

m = 0,4199   k g

Com a massa da batata, podemos calcular a quantidade máxima de transferência de calor  Q m á x que é transferido da seguinte:

Q m á x = m c p T ∞ - T i

Substituindo os temos da equação pelos valores conhecidos, temos:

Q m á x = 0,4199   k g × 3.900   J / k g ⋅ K × 170 ℃ - 25 ℃

Q m á x = 237453,45   J

Passo 6

Podemos calcular a quantidade real de transferência de calor da  Q da seguinte maneira:

Q Q m á x e s f e r a = 1 - 3 θ o , e s f e r a sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Q Q m á x e s f e r a = 1 - 3 T o - T ∞ T i - T ∞ sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Aqui,  Q  é a quantidade real de calor transferido.

Q = Q m á x 1 - 3 T o - T ∞ T i - T ∞ sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Substituindo pelos dados conhecido, temos:

Q = 237453,45   J × 1 - 3 × 70 ℃ - 170 ℃ 25 ℃ - 170 ℃ × sen ⁡ 2,2889 - 2,2889 cos ⁡ 2,2889 2,2889 3

Q = 237453,45   J × 1 - 0,38976

Q = 144903,1   J

A temperatura de equilíbrio final da batata depois de envolvida é a seguinte:

Q = m c p T e q u i - T i

T e q u i = T i + Q m c p

Substituindo os valores, temos:

T e q u i = 25 ℃ + 144903,1   J 0,4199   k g × 3900   J / k g ⋅ K

T e q u i = 113,5 ℃

Assim, a temperatura final após a embalagem é  113,5 ℃ .

Resposta

t = 39,37   m i n

T e q u i = 113,5 ℃

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