Enunciado

O campo de velocidade para um escoamento bidimensional é V → = A x - B y t i → - ( B x + A y ) j → , em que A = 1   s - 2 ,   B = 2   s - 2 ,   t é dado em segundos e as coordenadas são medidas em metros. Este é um possível escoamento incompressível? O escoamento é em regime permanente ou transiente? Mostre que o escoamento é irrotacional e deduza uma expressão para o potencial de velocidade.

Passo 1

Tá legal! Para que o escoamento seja incompressível, devemos ter:

∂ ∂ x u x , y - ∂ ∂ y v x , y = 0

Então, substituindo os valores de v e u , temos:

∂ ∂ x - A x - B y t - ∂ ∂ y - B x - A y t = 0 → - A t + A t = 0

Sendo assim, o escoamento é incompressível.

Passo 2

Uma vez que a velocidade V depende do tempo, então o escoamento é transiente.

Passo 3

Para o escoamnento ser irrotacional, devemos ter:

∂ ∂ x v - ∂ ∂ y u = 0

Substituindo os valores de v e u , temos:

∂ ∂ x - B x - A y t - ∂ ∂ y A x - B y t = 0 → - B t + B t = 0

Então o escoamento é de fato irrotacional.

Passo 4

Agora, para encontrar o potencial de velocidade, devemos fazer:

ϕ x , y = - ∫ u x , y d x = - ∫ A x - B y t d x → ϕ x , y = - A x 2 t 2 + B x y t + f ( y )

ϕ x , y = - ∫ v x , y d y = - ∫ - B x + A y t d y → ϕ x , y = B x y t + A y 2 t 2 + g ( x )

Dessa forma, comparando as duas funções, vemos que:

f y = A y 2 t 2 ;     g x = - A x 2 t 2

Então, a equação para o potencial de velocidade será:

ϕ = - A x 2 t 2 + A y 2 t 2 + B x y t

Resposta

i n c o m p r e s s í v e l

t r a n s i e n t e

i r r o t a c i o n a l

ϕ = - A x 2 t 2 + A y 2 t 2 + B x y t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O componente r θ do tensor de tensão viscoso em coordenadas cilíndricas é dada por: τ r θ = τ θ r = μ r∂ ∂ r u θ r + 1 r ∂ u r ∂ θ( 1 ) Alguns autores escrevem essa componente como: τ r θ = τ θ r = μ
Repetir Problema 9–73, mas a partir de um quadro de referência que gira com as pás do agitador na velocidade angular ω .
Considere o seguinte campo de velocidade permanente, bidimensional, incompressível: V → = u ,v = - a x 2 i ^ + 2 a x y j ^ , onde a é uma constante. Calcule a pressão em função de x e y.
Um agitador mistura produtos químicos em um grande tanque (Fig. P9–73). A superfície livre do líquido é exposta ao ar ambiente. Os efeitos da tensão superficial são insignificantes. Discuta as condiçõ
Considere o seguinte campo de velocidade permanente, bidimensional, incompressível: V → = u ,v = a x + b i ^ + - a y + c x 2 j ^ , onde a ,bec são constantes. Calcule a pressão em função de x e y.