Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Capítulo 11.Exercício - Ex. 9

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Dado o campo de velocidades v → = 13 x 2 + y e x → + 10 e y → + y z 2 e z →

  1. Qual é a velocidade angular do elemento fluido na posição definida pelo vetor r → = 6 e x → + 3 e → y + 2 e → z ?
  2. É possível ser o escoamento de fluido incompressível?

Passo 1

Item A)

Vamos utilizar a equação da rotação:

Ω → = 1 2 r o t   v →

Ω → = 1 2 ∂ v z ∂ y - ∂ v y ∂ z e x → + ∂ v x ∂ z - ∂ z ∂ x e y → + ∂ v y ∂ x - ∂ v x ∂ y e z →

Ω → = 1 2 ∂ ( y z 2 ) ∂ y - ∂ ( 10 ) ∂ z e x → + ∂ 13 x 2 + y ∂ z - ∂ ( y z 2 ) ∂ x e y → + ∂ ( 10 ) ∂ x - ∂ 13 x 2 + y ∂ y e z →

Ω → = 1 2 z 2 - 0 e x → + 0 - 0 e y → + 0 - 1 e z →

Ω → = 1 2 z 2 e x → - e z →

Para o ponto r → = 6 e x → + 3 e → y + 2 e → z :

Ω → = 1 2 2 2 e → x - e → z

Ω → = 1 2 4 e → x - e → z

Ω → = 2 e → x - 1 2 e → z

Passo 2

Para ser incompressível é preciso respeitar a condição

d i v   v → = 0 ⇒ ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z = 0

Aplicando:

d i v   v → = ∂ 13 x 2 + y ∂ x + ∂ ( 10 ) ∂ y + ∂ ( y z 2 ) ∂ z

d i v   v → = 26 x + 0 + 2 y z

d i v   v → = 26 x + 2 y z

Logo percebemos que o divergente é diferente de zero. O escoamento é compressível!

Resposta

  1. Ω → = 2 e → x - 1 2 e → z
  2. O escoamento é compressível!

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