Enunciado

Óleo com densidade de 850   k g / m 3 e viscosidade cinemática de 0,00062   m 2 / s é descarregado por um tubo horizontal com 5   m m de diâmetro e 40   m de comprimento de um tanque de armazenamento que está aberto para a atmosfera. A altura do nível do líquido acima do centro do tubo é de 3   m . Desprezando as perdas menores, determine a vazão do óleo através do tubo.

Passo 1

O primeiro passo para calcular a vazão volumétrica V ˙ de óleo através do tubo é calcular o número de Reynolds R e do escoamento. Se o escoamento for laminar, usaremos uma fórmula para V ˙ , se ele for turbulento, usaremos outra. A equação do número de Reynolds segue abaixo.

R e = ρ ⋅ V m é d ⋅ D μ

onde ρ é a densidade do fluido (que vale 850   k g / m 3 ), μ é a viscosidade do fluido, D (que vale 5   m m ou 0,005   m ) é o diâmetro do tubo e V m é d é a velocidade média do escoamento.

A viscosidade do óleo μ pode ser calculada a partir da viscosidade cinemática ν do óleo (que vale 0,00062   m 2 / s ).

μ = ν ⋅ ρ       ⟹       μ = 0,00062 ⋅ 850       ⟹       μ = 0,5270   k g / m ⋅ s

Mas como podemos calcular V m é d se não sabemos se o perfil de velocidade é turbulento ou laminar? Isso será respondido no próximo passo.

Passo 2

Neste momento nós não precisamos saber o regime de escoamento através do tubo (laminar ou turbulento). Nós podemos calcular V m é d supondo inicialmente que o regime é laminar, porque o diâmetro do tubo é muito pequeno (o que resulta em R e menores e escoamento laminar) e depois calcular o R e com essa V m é d . Se R e for maior que 40 00 , o escoamento é turbulento. Se for menor que 2300 , é laminar. A fórmula de V m é d para um escoamento laminar segue abaixo (equação 8-26 do livro).

V m é d = Δ P ⋅ D 2 32 ⋅ μ ⋅ L

onde L é o comprimento do tubo (que vale 40   m ) e Δ P é a perda de pressão através do tubo.

Para calcular a perda de pressão do tubo Δ P , precisamos saber qual é a pressão manométrica na entrada do tubo P 1 e a pressão manométrica na saída do tubo P 2 .

Δ P = P 1 - P 2

Descobriremos P 1 e P 2 no próximo passo.

Passo 3

A pressão na entrada P 1 pode ser calculada a partir da equação de pressão estática, porque a pressão nesse ponto é causada pela coluna de óleo (de altura h = 3   m ) sobre ele. Logo:

P 1 = ρ ⋅ g ⋅ h       ⟹       P 1 = 850 ⋅ 9,81 ⋅ 3       ⟹       P 1 = 25016   P a

Como o óleo está sendo descarregado para a atmosfera, podemos considerar que a sua pressão é igual a pressão atmosférica. Isso quer dizer que a pressão manométrica P 2 val zero.

P 2 = 0   P a

Substituindo os dados na fórmula de V m é d , achamos o valor dessa velocidade.

V m é d = Δ P ⋅ D 2 32 ⋅ μ ⋅ L       ⟹       V m é d = 25016 - 0 ⋅ 0,005 2 32 ⋅ 0,5270 ⋅ 40       ⟹       V m é d = 0,000927   m / s

Substituindo V m é d na equação de R e , achamos:

R e = ρ ⋅ V m é d ⋅ D μ       ⟹       R e = 850 ⋅ 0,000927 ⋅ 0,005 0,5270       ⟹       R e = 0,0075

Como esse R e é menor que 2300 , o escoamento é laminar. Ou seja, podemos usar a V m é d laminar que calculamos para calcular V ˙ .

Passo 4

Podemos calcular V ˙ através de V m é d , multiplicando V m é d pela área A da seção transversal do tubo ( A vale π ⋅ D 2 / 4 , porque o tubo é circular).

V ˙ = V m é d ⋅ A       ⟹       V ˙ = V m é d ⋅ π ⋅ D 2 4       ⟹     V ˙ = 0,000927 ⋅ π ⋅ 0,005 2 4

V ˙ = 1,82 ⋅ 10 - 8   m 3 s

Resposta

V ˙ = 1,82 ⋅ 10 - 8   m 3 s

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