Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Capítulo 6.Exercício - Ex. 26

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Um recipiente, contendo gás ( ρ = 1,2   k g / m 3 ) , tem um orifício por onde ele é descarregado para o ambiente. O gás pode ser considerado incompressível. Após algumas observações, conclui-se que a vazão em volume (Q) é função da diferença de pressão com o ambiente Δ p , da viscosidade cinemática ν , da massa específica ( ρ ) e do diâmetro do orifício ( D ) .

a) Determinar π 1 e π 2 , sendo π 1 = f b a s e × Q e π 2 = f b a s e × Δ p .

b) Verificou-se que, para Q = 0,2.10 - 3   m 3 / s , obtem-se Δ p = 100   k P a , e que π 1 π 2 = 2.10 - 2 . Determinar o diâmetro do orifício em milímetros.

Passo 1

O enunciado nos disse que a vazão é função de:

Q = f ( Δ p , ν , ρ , D )

Então função representativa será:

f Δ p ,   ν , ρ , D , Q = 0

Agora vamos escrever a equação dimensional para cada uma das grandezas:

ρ = M L - 3 ; ν = L 2 T - 1 ; D = L ; Q = L 3 T - 1 ; Δ p = M L - 1 T - 2 ;

Agora vamos calcular o número de adimensionais independentes m = n - r , nesse caso temos:

n = 5   g r a n d e z a s   e n v o l v i d a s   n o   f e n ô m e n o

r = 3   n ú m e r o   d e   g r a n d e z a s   f u n d a m e n t a i s   d o   f e n ô m e n o

Sendo assim, temos:

m = 5 - 3 → m = 2   ( g r u p o s   d i m e n s i o n a i s )

Passo 2

Agora vamos construir os números adimensionais:

π 1 = ρ α 1 ν α 2 D α 3 Q  

π 2 = ρ β 1 ν β 2 D β 3 Δ p

Agora, substituindo cada uma das grandezas dimensionais nas equações, temos:

π 1 = ρ α 1 ν α 2 D α 3 Q = M L - 3 α 1 L 2 T - 1 α 2 L α 3 L 3 T - 1

Então, para que π 1 seja adimensional, temos:

α 1 + 0 = 0 → α 1 = 0

- α 2 - 1 = 0 → α 2 = - 1

- 3 α 1 + 2 α 2 + α 3 + 3 = 0 → - 3 0 + 2 - 1 + α 3 + 3 = 0 → α 3 = - 1

Dessa forma, temos então:

π 1 = ρ 0 v - 1 D - 1 Q → π 1 = Q ν D

Agora, repetindo o processo para π 2 :

π 2 = ρ β 1 ν β 2 L β 3 Δ p = M L - 3 β 1 L 2 T - 1 β 2 L β 3 M L - 1 T - 2

Então, para que π 2 seja adimensional, temos:

β 1 + 1 = 0 → β 1 = - 1

- β 2 - 2 = 0 → β 2 = - 2

- 3 β 1 + 2 β 2 + β 3 - 1 = 0 → - 3 - 1 + 2 - 2 + β 3 - 1 = 0 → β 3 = 2

Dessa forma, temos então:

π 2 = ρ - 1 v - 2 D 2 Δ p → π 2 = Δ p D 2 ρ ν 2

Passo 3

Agora para a letra b), vamos utilizar a relação fornecida no enunciado:

π 1 π 2 = 2.10 - 2

Substituindo os valores encontrados para π 1 e π 2 :

Q ν D Δ p D 2 ρ ν 2 = 2.10 - 2 → Q ν D ρ ν 2 Δ p D 2 = 2.10 - 2

Isolando D e substituindo os valores conhecidos, temos:

D = Q 2.10 - 2 ρ Δ p = 0,2.10 - 3 2.10 - 2 1,2 100.10 3 → D = 5,9.10 - 3   m → D = 5,9   m m

Resposta

π 1 = Q ν D ;   π 2 = Δ p D 2 ρ ν 2

D = 5,9   m m

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