Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos - Capítulo 2.Problemas - Ex. 50

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desse livro

Repita o Prob. 2 - 49 para u m á x = 5   m / s .

Passo 1

A questão pede que a gente calcule a força de arrasto F que o fluido aplica sobre a superfície interna do tubo assim como a gente fez para o Prob. 2 - 49 . A água se movimenta através de um tubo e tenta empurrar a parede do tubo por meio do atrito. A figura abaixo mostra o valor de todas as variáveis do fluido que precisamos para encontrar F . Entender o que são essas variáveis é o primeiro passo para resolver essa questão!

u é a velocidade do fluido na direção do comprimento do tubo. Ela varia com a distância r entre o ponto do fluido e o eixo do tubo. L é o comprimento do tubo. μ é a viscosidade dinâmica do fluido.

No próximo passo, vamos aprender a primeira etapa de cálculo de F .

Passo 2

Para calcular F precisamos primeiro calcular a tensão de cisalhamento τ que o fluido aplica sobre a superfície interna do fluido. Para calcular τ precisamos transformar a equação 2 - 29 do livro. Essa fórmula diz que:

τ = μ ⋅ d u d y

Essa fórmula mostra que a tensão de cisalhamento τ é proporcional à taxa de variação da velocidade do fluido u em relação a coordenada y . No caso de um tubo cilíndrico, a coordenada y deve ser trocada pela coordenada r . Além disso, devemos acrescentar o sinal de menos na fórmula, porque o r e contado a partir do centro do eixo e não a partir da parede como é o caso da coordenada y . Isso quer dizer que y e r possuem sentidos opostos.

τ = - μ ⋅ d u d r

Isso quer dizer que teremos que derivar u para encontrar τ .

Passo 3

Derivando u , encontramos:

d u d r = d d r u m á x 1 - r 2 R 2       ⟹       d u d r = - u m á x ⋅ 2 ⋅ r R 2

No entanto, nós não queremos o valor de τ em qualquer ponto. Nós queremos saber o valor de τ na parede do tubo. Ou seja, nós queremos saber o valor de τ , quando r = R . Por isso, temos que calcular d u d r onde r é igual a R .

Substituindo r por R na equação acima encontramos:

d u d r = - u m á x ⋅ 2 ⋅ r R 2       ⟹       d u d r = - u m á x ⋅ 2 ⋅ R R 2       ⟹       d u d r = - u m á x ⋅ 2 R

Substituindo essa fórmula na equação de τ , achamos:

τ = - μ ⋅ d u d r       ⟹       τ = - μ ⋅ - u m á x ⋅ 2 R       ⟹       τ = μ ⋅ u m á x ⋅ 2 R

Passo 4

A tensão de cisalhamento τ que a gente encontrou é a força F por unidade de área. Para encontrar F , temos que multiplicar τ pela área A da superfície do tubo de comprimento L . O valor dessa área A é igual ao perímetro interno do tubo 2 ⋅ π ⋅ R multiplicado pelo seu comprimento L .

F = τ ⋅ A       ⟹       F = τ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ R ⋅ L       ⟹       F = μ ⋅ u m á x ⋅ 2 R ⋅ 2 ⋅ π ⋅ R ⋅ L

F = u m á x ⋅ μ ⋅ 4 ⋅ π ⋅ L

Passo 5

Com essa fórmula podemos achar o valor de F para R = 0,08   m , L = 15   m , u m á x = 5   m / s , e μ = 0,0010   k g / m ⋅ s . Podemos encontrar o valor de F , substituindo esses dados na fórmula que encontramos.

F = u m á x ⋅ μ ⋅ 4 ⋅ π ⋅ L       ⟹       F = 5 ⋅ 0,0010 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 15       ⟹       F = 0 , 942   N

Resposta

F = 0 , 942   N

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