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Seja um dissipador de calor de alumínio k   =   240 W m K , como o mostrado esquematicamente no Problema 4.28. As larguras interna e externa do canal quadrado são w = 20 mm e W = 40 mm, respectivamente, e uma temperatura na superfície externa de T s = 50 ° C é mantida pela série de chips eletrônicos. Nesse caso, não se conhece a temperatura da superfície interna, mas sim as condições ( T ∞ ,   h ) associadas ao escoamento do refrigerante através do canal. Desejamos determinar a taxa de transferência de calor para o refrigerante por unidade de comprimento do canal. Com esse propósito, considere uma seção simétrica do canal e uma malha bidimensional com Δx = Δy = 5 mm.

  1. Para T ∞ = 20 ° C e h   =   5000 W m 2 K , determine as temperaturas desconhecidas, T 1 ,   … ,   T 7 , e a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do canal, q′.
  2. Avalie o efeito de variações no h nas temperaturas desconhecidas e na taxa de transferência de calor.

Passo 1

Mais uma bem legal ein galerinha !!

Aqui nós precisamos desenhar para conseguir ver melhor o que vai rolar !!

Começando pelo nó 2, nós vamos observar condução vindo dos nós 2 e 5 e convecção do fluido interno, certo?

Aplicando o balanço de energia:

q ' a + q ' b + q ' c = 0

Vamos relembrar como são calculados cada um deles?

q ' a = h ∆ y ∆ x T ∞ - T 1

q ' b = k ∆ y 2 T 2 - T 1 ∆ x  

q ' c = k ∆ x T 5 - T 1 ∆ y

Colocando no balanço:

h ∆ y 2 T ∞ - T 1 + k ∆ x 2 T 2 - T 1 ∆ y + k ∆ x T 5 - T 1 ∆ y = 0

Como ∆ x = ∆ y :

h ∆ y 2 T ∞ - T 1 + k 2 T 2 - T 1 + k T 5 - T 1 = 0

Substituindo:

500 0 W m 2 K 0,005   m 2 20 ° C - T 1 + 12 0 W m K T 2 - T 1 + 240 W m K T 5 - T 1 = 0

3,1042 T 1 - T 2 - 2 T 5 = 2,083                     ( i )  

Como o ponto 2 e 3 são pontos nodais em uma superfície plana com convecção:

h ∆ y T ∞ - T 2 + k ∆ x 2 T 3 - T 2 ∆ y + k ∆ y T 6 - T 2 ∆ x + k ∆ x 2 T 1 - T 2 ∆ y = 0

h ∆ y T ∞ - T 2 + k 2 T 3 - T 2 + k T 6 - T 2 + k 2 T 1 - T 2 = 0

Substituindo:

4,2084 T 2 - T 3 - 2 T 6 = 4,168                     ( i i )

Se achamos no ponto 2, agora é só fazermos igual no ponto 3:

h ∆ y 2 T ∞ - T 3 + k ∆ y 2 T 7 - T 3 ∆ x + k ∆ x 2 T 2 - T 3 ∆ y = 0

h ∆ y 2 T ∞ - T 3 + k 2 T 7 - T 3 + k 2 T 2 - T 3 = 0

Substituindo nós obtemos:

T 2 - 2,1042 T 3 + T 7 = - 2,084                     ( i i i )

Passo 2

Aqui nós não temos convecção, somente condução vindo do espaço próximo à temperatura T s e do ponto 5:

k ∆ y T s - T 4 ∆ x + k ∆ x T 5 - T 4 ∆ y = 0

k T s - T 4 + k T 5 - T 4 = 0

Substituindo nós obtemos:

2 T 4 - T 5 = 50                     ( i v )

Agora nós vamos analisar o que está acontecendo nos pontos 5, 6 e 7, ok?

Como todos são pontos nodais no interior:

T 1 + T 4 + T 6 + T s - 4 T 5 = 0                     ( v )

T 2 + T 5 + T 7 + T s - 4 T 6 = 0                     ( v i )

T 3 + 2 T 6 + T s - 4 T 7 = 0                     ( v i i )

Resolvendo as equações i ,   i i ,   i i i ,   i v ,   v ,   v i   e   v i i :

T 1 = 46,61 ° C

T 2 = 45,67 ° C

T 3 = 45,44 ° C

T 4 = 49,23 ° C

T 5 = 48,46 ° C

T 6 = 48,00 ° C

T 7 = 47,86 ° C

Passo 3

Para o fluxo de calor total nós precisamos lembrar que na superfície cuja a transferência por convecção ocorre estão os pontos 1, 2 e 3. Então a taxa de transferência de calor da superfície será a soma das taxas de calor por convecção para cada um deles:

q ' = h ∆ x 2 T 1 - T ∞ + ∆ x T 2 - T ∞ + ∆ x 2 T 3 - T ∞

Como nós temos 8 partes iguais ao longo da figura:

Q ' = 8 h ∆ x 2 T 1 - T ∞ + ∆ x T 2 - T ∞ + ∆ x 2 T 3 - T ∞

Substituindo nossos dados:

q ' = 8 × 5 00 0 W m 2 K 0,0 0 5   m 2 46,61 ° C - 2 0 ° C + 0,005   m 45,67 ° C - 2 0 ° C + 0,0 0 5   m 2 45,44 ° C - 2 0 ° C

q ' = 10,340 W m

Acabamos a letra (a) e vamos seguindo rapidinho pra (b) ein !!

Passo 4

Na letra (b) nós queremos avaliar o efeito de variações no h nas temperaturas desconhecidas e na taxa de transferência de calor, certo?

Se variamos o h então é só nós fazermos tudo que fizemos nos Passos 1, 2 e 3 e obtemos os novos valores.

Para as temperaturas:

E fazendo um especial para a troca de calor:

Tranquilinha, não é?

Resposta

  1. T 1 = 46,61 ° C     |     T 2 = 45,67 ° C     |     T 3 = 45,44 ° C     |     T 4 = 49,23 ° C     |     T 5 = 48,46 ° C     |     T 6 = 48,00 ° C     |     T 7 = 47,86 ° C ;
  2. q ' = 10,340 W m ;

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