Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

O sistema cilíndrico ilustrado tem variações de temperatura nas direções r e z desprezíveis. Considere que Δ r = r e - r i seja pequena quando comparada a r i e represente o comprimento na direção z , normal à página, por L .

  1. Começando pela definição de um volume de controle apropriado e considerando os efeitos de geração e acúmulo de energia, deduza a equação diferencial que descreve a variação da temperatura em função da coordenada angular φ . Compare seu resultado com a Equação 2.26.
  2. Para condições de regime estacionário, sem geração interna de calor e propriedades constantes, determine a distribuição de temperaturas T ( φ ) em termos das constantes T 1 , T 2 , r i e r e . Esta distribuição é linear em φ ?
  3. Para as condições do item (b), escreva a expressão para a taxa de transferência de calor, q φ .

Passo 1

Fala aí! Partiu fortalecer nossos conhecimentos com essa questãozinha aí, beleza?

Essa questão pede algumas coisas separadas em três letras, ok?

Vamos resolver cada uma separadamente então!

Vamos nessa!

Passo 2

A letra a, pede pra gente definir um volume de controle para depois deduzir a equação que descreve a variação da temperatura em função da coordenada angular… Vamos começar então!

Estamos trabalhando com um sistema cilíndrico, então vamos definir o volume de controle como sendo:

V = r i   .   d φ   .   Δ r   .   L

Agora vamos usar a conservação de energia:

E e n t r a d a - E s a í d a + E g = E s t

q φ - q φ + d φ + q   .   V = ρ   .   V   .   c   .   ∂ T ∂ t

Opa! Antes de dar continuidade vamos definir com calma quem são esses q φ e q φ + d φ … Vamos lá!

q φ =   - k   .   Δ r   .   L   .   1 r i   .   ∂ T ∂ φ e q φ + d φ =   q φ + ∂ ∂ φ ( q φ )   .   d φ

Agora unindo a equação vamos ficar com o seguinte:

q φ - q φ + ∂ ∂ φ ( q φ )   .   d φ + q   .   V = ρ   .   V   .   c   .   ∂ T ∂ t

1 r i 2   .   ∂ ∂ φ   .   k   .   ∂ T ∂ φ + q = ρ   .   c   .   ∂ T ∂ t

Opa! Olha isso, nossa temperatura é independente de r e de z , assim como a equação 2.26, show?

Passo 3

Vamos agora para a letra b, que quer saber se a distribuição de temperatura é linear em φ , assumindo regime estacionário…

Bom, se estamos em regime estacionário, sabemos que:

q = 0

d d φ   .   k   .   d T d φ = 0

Mas estamos trabalhando com propriedades constantes, então:

d T d φ = constante

E sendo assim, a distribuição de temperatura é linear com φ .

d T d φ = T 2 - T 1 φ 2 - φ 1

d T d φ = 1 π   .   T 2 - T 1

Show de bolinhas! Falta só a letra c agora, hein?

Passo 4

Na letra c, precisamos escrever a expressão da taxa de transferência de calor, usando as mesma condições da letra b… Tranquilo?

Vamos usar a lei de Fourier com nosso gradiente de temperatura, ok?

q φ =   - k   .   ( Δ r   .   L )   .   1 r i   .   1 π   .   T 2 - T 1

q φ =   - k   .   r 0 - r 1 π   .   r 1   .   L   .   T 2 - T 1

Conseguimos! Arrasamos!

Resposta

  1. 1 r i 2   .   ∂ ∂ φ   .   k   .   ∂ T ∂ φ + q = ρ   .   c   .   ∂ T ∂ t ; A temperatura é independente de r e de z , assim como a equação 2.26.
  2. d T d φ = 1 π   .   T 2 - T 1 .
  3. q φ =   - k   .   r 0 - r 1 π   .   r 1   .   L   .   T 2 - T 1 .

Exercícios de Livros Relacionados

Considere um tubo a uma temperatura constante cujo raio seja maior que
Um tanque esférico de 50 cm de diâmetro está cheio com água com gelo a
Para maximizar a produção e minimizar custos de bombeamento, óleo cru
Tubos de cobre estão fixados à placa absorvedora de um coletor solar p
Considere a fabricação de silício fotovoltaico, como descrito no Probl