Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos - Capítulo 3.Problemas - Ex. 116

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Uma tubulação de óleo e um tanque rígido de ar de 1,3   m 3 estão conectados entre si por um manômetro, como mostra a Figura P 3 - 116 . Se o tanque tiver 15   k g de ar a 80 ° C , determine (a) a pressão absoluta na tubulação e (b) a variação de Δ h quando a temperatura do tanque cair até 20 ° C . Considere que a pressão na tubulação de óleo permaneça constate e que o volume de ar no manômetro seja desprezível com a relação ao volume de o tanque.

Passo 1

Temos que determinara pressão no tubo e variação de nível do fluido manométrico quando a temperatura do ar cai.

Assumindo que todos os líquidos são incompressíveis, o efeito da coluna de ar é insignificante e o volume do tanque de ar é insignificante comparado ao volume do tanque do manômetro.

Temos as seguintes propriedades, temos a gravidade específica do mercúrio como 13,6 e 2,68 para o óleo, adotaremos a densidade padrão da água como ρ w = 1000   k g / m 3 e a constante do gás ideal do ar é R = 0,287   k P a ∙ m 3 k g ∙ K .

Para letra (a) sabemos que a pressão no tanque do óleo é igual à pressão no tanque do ar, portanto tendo estes itens explanados, temos que para resolver está questão iremos começar com a pressão no tanque do óleo, e iremos movendo ao longo dos tubos (somando as pressões assim como vamos “andado” para baixo), diminuindo a pressão (assim como vamos para cima nos tubos) até chegar a no tanque do ar.

Passo 2

a) Executando oque foi dito no passo 1, temos:

P ó l e o   + ρ ó l e o g h ó l e o + ρ H g g h H g = P a r

Como desejamos pressão absoluta no tubo e o tubo esta repleto de óleo, portanto isolando P ó l e o :

P ó l e o = P a r - ρ ó l e o g h ó l e o - ρ H g g h H g

Note que não possuímos a pressão do tanque do ar, mas podemos calcular com a formula do gás ideal:

P a r V = m R T

P a r = m R T V

P a r = 15 ∙ 0,287 ∙ 80 + 273 1,3

P a r = 1169   k P a

Retomando o calculo inicial:

P ó l e o = P a r - ρ ó l e o g h ó l e o - ρ H g g h H g

Substituindo as variáveis e coloca os termos em comum em evidencia:

P ó l e o = 1169 - S G ó l e o ρ w g h ó l e o - ρ w S G H g g h H g

P ó l e o = 1169 - ρ w g ∙ S G ó l e o h ó l e o - S G H g h H g

P ó l e o = 1169 - 1000 ∙ 9,81 ∙ 2,68 ∙ 0,75 + 13,6 ∙ 0,2

P ó l e o = 1123   k P a

Passo 3

b) Bem neste item temos duas coisas bem relevantes uma delas é a pressão no tanque do ar que ira diminuir devido à temperatura de cair também, então vamos já calcular isto:

P a r = m R T V

P a r = 15 ∙ 0,287 ∙ 2 0 + 273 1,3

P a r = 970   k P a

E o outro item é que devido à variação de nível do mercúrio, após a variação da temperatura isto fará com que o mercúrio no braço esquerdo diminuirá em nível x quanto que no braço direito ele aumentará em y . Perceba que isso tudo ocorre e os volumes dos dois braços permanecem constantes, portanto podemos igualar o volume do braço esquerdo com a variação de “altura” x igual o volume do braço direito com a variação de “altura” y .

V e s q = V d i r

π r 2 x = π   r 2 y

Isolando y , pois com ele podemos calcular o nível de mercúrio e o acréscimo no nível de óleo, temos:

y = 9 x

Mas note que y referente a nível inclinado de mercúrio e desejamos o nível vertical, que chamaremos de h . Portanto, perceba que temos um triangulo retângulo com um ângulo de 50 ° , aplicando trigonometria neste triangulo temos que:

s e n   50 ° = h y

h = y   s e n   50 °

E finalmente saberemos que o nível de mercúrio aumentara em uma grandeza de:

x + h = x + 9 x ∙ s e n   50 ° ≅ 7,894 x

Passo 4

Agora que possuímos a variação do nível de mercúrio (generalizada), podemos calcular agora em termos realmente em números quanto este mercúrio vaiou.

Retomando a equação de pressão, com a pressão do ar a uma temperatura de 20 ° C e com a variação calculada, fica:

P ó l e o   + S G ó l e o h ó l e o + x g ρ w + S G H g h H g - 7,894 x ρ w g = P a r

Substituindo os valores e rearranjando a equação:

2,67 0,75 + x + 13,6 0,2 - 7,894 x = 970 - 1123 1000 ∙ 9,81

Resolvendo os cálculos e isolando x :

x = 0,194   m = 19,4   c m

Isso significa que após o decaimento da temperatura do tanque de ar, a interface óleo e mercúrio irá descer 19,4   c m e a interface mercúrio e ar ira aumentar 19,4   c m .

Resposta

a) P ó l e o = 1123   k P a

b) x = 0,194   m = 19,4   c m

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