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Como visto no Problema 3.109, nanofios de carbeto de silício, de diâmetro D   =   15   n m , podem ser formados sobre uma superfície sólida de carbeto de silício através da colocação cuidadosa de gotas de uma catalisador líquido sobre o substrato plano de carbeto de silício. Nanofios de carbeto de silício crescem a partir das gotas depositadas e, se as gotas forem depositadas seguindo um padrão, um conjunto de aletas de nanofios pode ser gerado, formando um nanodissipador de calor de carbeto de silício. Sejam pacotes eletrônicos com aletas e sem aletas, nos quais um dispositivo eletrônico extremamente pequeno, 10   μ m   ×   10   μ m , encontra-se posicionado entre duas folhas de carbeto de silício com espessura, cada uma, de d   =   100   n m . Em ambos os casos, o refrigerante é um líquido dielétrico a 20 ° C . Um coeficiente de transferência de calor h   =   1   ×   10 5   W / ( m 2   ·   K ) pode ser considerado no topo e no fundo do pacote sem aletas e em todas as superfícies das aletas de carbeto de silício expostas. Cada aleta tem um comprimento de L   =   300   n m . Cada nanodissipador de calor tem um conjunto de 200   ×   200 nanoaletas. Determine a máxima taxa de calor que pode ser gerada pelo dispositivo eletrônico de tal forma que sua temperatura seja mantida a T t   <   85 ° C nos conjuntos sem aletas e com aletas.

Passo 1

Aqui nós temos as dimensões de um pacote eletrônico dissipador de nanocalor com aletas. Além também da temperatura e coeficiente de transferência de calor do líquido refrigerante. Onde o circuito térmico do pacote sem aleta é:

E a partir dessas informações precisamos calcular a taxa máxima de calor para manter a temperatura abaixo de 85 ° C para pacotes com e sem aletas. Agora vamos para as nossas considerações!

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que:

(1) Estamos em condição de estado estacionário;

(2) A variação da temperatura na espessura da aleta é desprezível;

(3) As propriedades são constantes;

(4) O coeficiente de transferência de calor é uniforme;

(5) A resistência do contato é desprezível;

(6) A perda de calor nas bordas da embalagem é desprezível.

A partir do circuito do Passo 1, temos:

R c o n d = d k A = 100 × 10 - 9 m 490 W m . K × 10 × 10 - 6 m 2 = 2,04   K / W

R c o n V = 1 h A = 1 10 5 W m 2 . K × 10 × 10 - 6 m 2 = 1 × 10 5   K / W

E a taxa de calor máxima é:

q = 2 ( T t - T ∞ ) R c o n d + R c o n v = 2   85 - 20 ° C 2,04 + 10 5 K / W = 1,30 × 10 - 3 W

Passo 3

Para o nanodissipador aletado, a resistência à convecção é substituída por uma resistência térmica do conjunto de aletas:

Conhecendo as equações:

R t , o = 1 o h A t , o = 1 - N A f A t ( 1 - f ) e A t = N A f + A b

Onde,

A f = π D L c = π D L + D 4 = π × 15 × 10 - 9 m × ( 300 + 15 / 4   ) × 10 - 9 m = 1,43 × 10 - 1 4 m 2

A b = W 2 - N π D 2 4 = 10 × 10 - 6 m 2 - 40000 × π × 15 × 10 - 9 m 2 4 = 9,29 × 10 - 11 m 2  

A t = 40000 × 1,43 × 10 - 14 m 2 + 9,29 × 10 - 11 m 2 = 6 , 65 × 10 - 10 m 2

Então, com:

m L c = 4 h k D 1 2 L C = 4 × 10 5 W m 2 . K 49 0 W m . K × 15 × 10 - 9 m 1 2 304 × 10 - 9 m = 7,09 × 10 - 2

Passo 4

Com os dados do passo anterior podemos calcular:

f = tanh ⁡ m L c m   L c = t a n h ⁡ ( 7,09 × 10 - 2 ) 7,09 × 10 - 2 = 0 , 998  

Então,

o = 1 - 40000 × 1,43 × 10 - 14 m 2 6,65 × 10 - 10 m 2 1 - 0,998 = 0.999

E,

R t , o = 1 0,999 × 10 5 W m 2 . K × 6,65 × 10 - 10 m 2 = 1,50 × 10 4   K / W

Então a taxa de calor máxima é:

q = 2 ( T t - T ∞ ) R c o n d + R t , o = 2   85 - 20 ° C 2,04 + 1,50 × 1 0 4 K / W = 8,64 × 10 - 3 W

Essa questão é basicamente aplicação de fórmula, mas, normalmente, nas provas essas fórmulas vão ser dadas para você, beleza?

Resposta

Sem aletas: q = 1,30 × 10 - 3 W

Com aletas: q = 8,64 × 10 - 3 W

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