Enunciado

17. Uma campânula cilíndrica de aço, sem fundo, de 3   m de altura, é baixada na água, a partir da superfície, até que seu teto fique a 5   m de profundidade. Que fração do volume da campânula será invadida pela água?

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha de hidrostática nesse maravilhoso e complicado livro de Física.

Após a campânula ser mergulhada na água, a pressão na interface água/ar devido à coluna de água é dada por:

P 1 = P 0 + ρ g ( 8 - h )

Onde h representa a altura da coluna de água dentro da campânula. Devido a essa altura, a pressão do ar dentro da campânula deixa de ser P 0 .

Passo 2

Agorao olha só o raciocínio que o M o y s e s   nos força a ter. Sabemos que houve alteração de pressão e volume... Entretanto a questão falou alguma coisa sobre temperatura?

Viu só, se não falou, temos que pensar no que é melhor para nós. E o melhor é que consideremos que o ar passe por um processo isotérmico... Assim, aplicando a lei de B o y l e obtemos que:

P 0 V 0 = P f V f

P f = P 0 V 0 V f

P f = 3 A 3 - h A P 0

P f = 3 3 - h P 0

Onde A representa a área da seção transversal da campânula... Assim, antes de ser mergulhada na água, a altura da coluna de ar é de 3   m   e seu volume inicial é V 0 = 3 A . Após ser mergulhada, a altura da coluna de ar é 3 - h   e seu volume final é V f = ( 3 - h ) A . Como a pressão devido a coluna de ar deve ser igual a pressão devido à coluna de água na interface água/ar dentro da campânula, temos então que:

P f = P 1 → P 1 = 3 3 - h P 0 = P 0 + ρ g ( 8 - h )

Vamos então tratar de simplificar a igualdade abaixo:

3 3 - h P 0 = P 0 + ρ g ( 8 - h )

3 P 0 = P 0 ( 3 - h ) + ρ g ( 8 - h ) ( 3 - h )

3 P 0 = 3 P 0 - h P 0 + ρ g ( - 3 h - 8 h 24 + h 2 )

h P 0 = ρ g ( - 11 h + 24 + h 2 )

h P 0 ρ g = - 11 h + 24 + h 2

P 0 ρ g h = - 11 h + 24 + h 2

Muito bem! Vamos calcular agora, o valor de P 0 / ρ g sabendo que:

P 0 = 101000   P a ρ = 1000   k g / m 3 g = 9,81   m / s 2

P 0 ρ g = 101000   P a ( 1000   k g / m 3 ) ( 9,81   m / s 2 ) ≅ 10,3

Passo 3

Chegamos assim, até a seguinte equação:

10,3 h = - 11 h + 24 + h 2

h 2 - 21,3 h + 24 = 0

Cujas raízes, dado o formato de equação a h 2 + b h + c = 0 são dadas por:

h 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

h 1,2 = 21 , 3 ± ( 21 , 3 ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( 24 ) 2 ⋅ 1

h 1,2 = 10,6 5 ± 9,46

h 1 ≅ 20,1   m   ;   h 2 ≅ 1,2   m  

Temos que pegar o valor que é menor do que 8   m , ou seja h = 1,2   m .

Isto representa uma fração f de:

f = 1,2 3 = 0,4 = 40 %

Resposta

f = 1,2 3 = 0,4 = 40 %

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