Enunciado

19. A estação de rádio pública K X P R - F M de Sacramento transmite a 88,9   M H z . As ondas de rádio passam entre dois arranha-céus. A distância entre as paredes mais próximas dos dois arranha-céus é 15,0   m . a ) Em que ângulos horizontais, relativamente à direção original das ondas, uma antena distante não receberá qualquer sinal dessa estação? b ) Se a intensidade máxima é 3,50   W / m 2 na antena, qual é a intensidade a ±   5,0 ° do centro do máximo central na antena distante?

Passo 1

Você concorda comigo que essa situação descrita pelo enunciado é igual ao caso de uma difração produzida por uma fenda, sendo a distância entre as paredes dos prédios a fenda.

Sendo assim podemos usar a teoria de difração em uma fenda simples.

No caso de uma antena não receber sinal nenhum é como se ela estivesse na posição onde temos uma franja escura que ocorre devido a difração na fenda. Os ângulos ondes essas antenas estão para não receber nenhum sinal podem ser encontrados usando a equação 36.2 , dada por:

sen ⁡ θ = m λ a

Onde m = ± 1 , ± 2 , ± 3 , … , podemos fazer m até ± 4 , pois maior que isso ai as intensidades começam a ficar muito baixas como você pode observar na figura 36.9 do livro.

Mas e aí, qual o valor λ ? Já que o enunciado não forneceu. Bem, podemos achar seu valor com a seguinte relação:

c = λ f

⇒ λ = c f

O c é a velocidade da luz e f a frequência das ondas.

Agora, a intensidade a a ±   5,0 ° do centro do máximo central na antena distante pode ser encontrada utilizando a equação 36.5 , dada por:

I = I 0 sen ⁡ β 2 β 2 2

Mas onde encaixamos θ ? Não crie pânico meus caros, lembrando que β é encontrado através da seguinte relação:

β = 2 π λ a sen ⁡ θ

Achamos onde encaixamos o θ .

Passo 2

Partiu então encontrar primeiro o valor de λ , para aí sim encontrarmos os valores de θ , temos:

λ = c f

Lembrando que c = 3 ⋅ 10 8   m / s e f = 88,9   M H z = 88,9 ⋅ 10 6   H z . Assim:

λ = 3 ⋅ 10 8 88,9 ⋅ 10 6

⇒ λ = 3,375   m

Passo 3

Agora que temos lambda vamos encontrar o θ para m = ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 . Temos:

sen ⁡ θ = m λ a

Primeiro para m = ± 1 .

sen ⁡ θ = ( ± 1 ) ( 3,375 ) 15

⇒ sen ⁡ θ = ± 0,225

⇒ θ = ± 13   °

Agora para m = ± 2 .

sen ⁡ θ = ( ± 2 ) ( 3,375 ) 15

⇒ sen ⁡ θ = ± 0 , 4 5

⇒ θ = ± 26,74 °

Agora para m = ± 3 .

sen ⁡ θ = ( ± 3 ) ( 3,375 ) 15

⇒ sen ⁡ θ = ± 0 , 67 5

⇒ θ = ± 42,4 °

E finalmente para m = ± 4 .

sen ⁡ θ = ( ± 4 ) ( 3,375 ) 15

⇒ sen ⁡ θ = ± 0 , 9

⇒ θ = ± 64,16 °

O Sinal de negativo indica se esse ângulo é para um lado ou para o outro da direção original das ondas (quando não temos a difração).

Passo 4

Agora vamos encontrar o valor de β para θ = ± 5 ° , já que precisamos saber isso para encontrar o que p item ( b ) que. Então:

β = 2 π λ a sen ⁡ θ

Substituindo o que sabemos, ficamos com:

β = 2 π 3,375 15 sen ⁡ ± 5

Só cuidado com um detalhe, mesmo θ tendo sido fornecido em graus, o β que vamos encontrar é em radianos. Continuando:

β = 27,92 sen ⁡ ± 5

⇒ β = ± 2,433   r a d

Passo 5

Agora por último vamos encontrar a intensidade pedida em ( b ) , temos:

I = I 0 sen ⁡ β 2 β 2 2

Substituindo o que sabemos, ficamos com:

I = 3,50 sen ⁡ ± 2,433 2 ± 2,433 2 2

⇒ I = 3,50 ± 0,938 ± 1,217 2

⇒ I = 3,50 0,771 2

Então temos que:

I = 2,08   W / m 2

Resposta

( a )

θ = ± 13   °

θ = ± 26,74 °

θ = ± 42,4 °

θ = ± 64,16 °

( b )

I = 2,08   W / m 2

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →