Enunciado

35. a ) Em que porcentagem a sua massa de repouso aumenta quando você sobe 30   m até o topo de um edifício de dez andares? Você percebe esse aumento? Explique. b ) Em quantos gramas a massa de uma mola de 12,0   g com uma constante de 200   N / c m varia quando você a comprime em 6,0   c m ? A massa aumenta ou diminui? Você notaria a variação da massa, se estivesse segurando a mola? Explique.

Passo 1

O meio que vamos utilizar para resolver tanto o item ( a ) e o item ( b ) é através da energia de repouso, já que temos a massa de repouso presente e a variação de energia total em cada situação.

Temos que a energia de repouso é dada por:

E = m c 2

Assim, sua variação é:

Δ E = Δ m c 2

Para o item ( a ) temos que a variação de energia total é dada apenas pela variação de energia potencial, assim:

Δ E = m g Δ y

E para o item ( b ) temos que a variação de energia total é dada apenas pela variação de energia potencial elástica devido a mola, assim:

Δ E = 1 2 k Δ x 2

Passo 2

Vamos então encontrar a porcentagem pedida em ( a ) e para isso vamos igualar as energias já que tanto no início quanto no final estaremos em repouso, então:

Δ m c 2 = m g Δ y

Isolando a fração Δ m / m já que isso representa a porcentagem da massa ganha, onde m é 100 % e Δ m a porcentagem que queremos, assim:

Δ m m = g Δ y c 2

Substituindo o que sabemos, temos:

Δ m m = ( 9,8 ) ( 30 ) ( 3 ⋅ 10 8 ) 2

= 294 9 ⋅ 10 16

Então temos que:

Δ m m = 3,26 ⋅ 10 - 15 %

Como você pode perceber esse aumento é muito pequeno, nós não perceberíamos esse aumento de forma alguma.

Passo 3

Agora vamos achar a variação de massa da mola quando a comprimimos 6,0   c m = 0,06   m . Para encontrarmos essa variação vamos igualar as variações de energia já que tanto no início quanto no final estaremos em repouso, então:

Δ m c 2 = 1 2 k Δ x 2

Agora só temos que isolar Δ m , temos;

Δ m = 1 2 k Δ x 2 c 2

Substituindo os valores que temos, lembrando que 200   N / c m = 2 ⋅ 10 4   N / m ficamos com:

Δ m = 1 2 ( 2 ⋅ 10 4 ) ( 0,06 ) 2 ( 3 ⋅ 10 8 ) 2

= 72 18 ⋅ 10 16

Então temos que:

Δ m = 4 ⋅ 10 - 16   k g

Essa variação de massa é extremamente pequena logo não teríamos como percebê-la e como ela é positiva quer dizer que a massa final é maior que a massa inicial, logo tivemos um aumento de massa.

Resposta

( a )

Δ m m = 3,26 ⋅ 10 - 15 %

O aumento é muito pequeno, nós não perceberíamos esse aumento de forma alguma.

( b )

Δ m = 4 ⋅ 10 - 16   k g

A variação de massa é extremamente pequena logo não teríamos como percebê-la e tivemos um aumento de massa.

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