Enunciado

41. Calcule a energia cinética de um próton ( massa igual a 1,67 ⋅ 10 - 27   k g ) usando a expressão relativística e também a expressão não-relativística e calcule a razão entre os dois resultados (relativística dividida pela não-relativística) para velocidade de: a ) 8,0 ⋅ 10 7   m / s e b )   2,85 ⋅ 10 8   m / s .

Passo 1

Para resolver esse exercício faremos uso de duas equações que nós vimos nesse capítulo.

Equação 37.7 que nos diz que:

γ = 1 1 - u 2 / c ²

E a equação 37.36 :

K r e l a t i v í s t i c a = γ - 1 m c ²

E, também, da nossa conhecida energia cinética não-relativística:

K n o r m a l = 1 2 m v ²

Agora podemos começar o nosso exercício.

Passo 2

a ) Nesse item o enunciado quer a energia cinética quando a velocidade relativa ( u ) é 8,0 ⋅ 10 7   m / s .

Primeiro vamos calcular K n o r m a l para essa velocidade:

K n o r m a l = 1 2 1,67 ⋅ 10 - 27   k g 8,0 ⋅ 10 7 m / s 2 = 5,34 ⋅ 10 - 12   J  

Através da segunda equação que vimos no Passo 1 conseguimos a energia cinética relativística, porém não possuímos o valor da relatividade ( γ ) e é por isso que iremos aplicar a primeira equação primeiro.

γ = 1 1 - [ 8,0 ⋅ 10 7 2 / ( 2,998 ⋅ 10 8   ) ² ] = 1,0376

Agora que descobrimos é só aplicar a equação:

K r e l a t i v í s t i c a = 1,0376 - 1 1,67 ⋅ 10 - 27   k g 2,998 ⋅ 10 8 2 = 5,65 ⋅ 10 - 12   J

Para finalizar esse item:

K r e l a t i v í s t i c a K n o r m a l = 5,65 ⋅ 10 - 12   J 5,34 ⋅ 10 - 12   J   = 1,06

Passo 3

b ) Agora vamos fazer o mesmo processo do item anterior, mas agora com uma velocidade relativa diferente.

Primeiro vamos calcular K n o r m a l para essa velocidade:

K n o r m a l = 1 2 1,67 ⋅ 10 - 27   k g 2,85 ⋅ 10 8   m / s 2 = 6 , 78 ⋅ 10 - 1 1   J  

Através da segunda equação que vimos no Passo 1 conseguimos a energia cinética relativística, porém não possuímos o valor da relatividade ( γ ) e é por isso que iremos aplicar a primeira equação primeiro.

γ = 1 1 - [ 2,85 ⋅ 10 8 2 / ( 2,998 ⋅ 10 8   ) ² ] = 3,203

Agora que descobrimos é só aplicar a equação:

K r e l a t i v í s t i c a = 3,203 - 1 1,67 ⋅ 10 - 27   k g 2,998 ⋅ 10 8 2 = 3 , 31 ⋅ 10 - 1 0   J

Para finalizar esse item:

K r e l a t i v í s t i c a K n o r m a l = 3,31 ⋅ 10 - 10   J 6,78 ⋅ 10 - 11   J   = 4,88

Resposta

a )   K n o r m a l = 5,34 ⋅ 10 - 12   J

        K r e l a t i v í s t i c a = 5,65 ⋅ 10 - 12   J

        K r e l a t i v í s t i c a K n o r m a l = 1,0 6

b )   K n o r m a l = 6,78 ⋅ 10 - 11   J

        K r e l a t i v í s t i c a = 3,31 ⋅ 10 - 10   J

        K r e l a t i v í s t i c a K n o r m a l = 4,88

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