Enunciado

56. O isótopo do polônio P 84 210 o tem massa atômica 209,982857   u . Outras massas atômicas são P 82 206 b , 205,974449   u ; B 83 209 i , 208,980383   u ; B 83 210 i , 209,984105   u ; P 84 2 09 o , 208,982416   u ; e A 85 210 t , 209,987131   u . a ) Mostre que o decaimento alfa do P 84 210 o é energeticamente possível e calcule a energia da partícula α emitida. b ) O P 84 210 o é energeticamente estável em relação à emissão de um próton? Por quê? c ) E em relação à emissão de um nêutron? Por quê? d ) E em relação ao decaimento β - ? Por quê? e ) E em relação ao decaimento β + ? Por quê?

Passo 1

Nesse problema o único item que vai nos dá mais trabalho é o item ( a ) que pede a energia da partícula α emitida, os outros item podemos responder tranquilamente analisando a diferença de massa antes do decaimento com a massa depois do decaimento, se a diferença for positiva o decaimento é possível e caso seja negativa o decaimento não é possível.

Para o item ( a ) temos que nos ligar no seguinte, no decaimento α temos a emissão de um núcleo de H 2 4 e que tem uma massa de 4,002603   u .

Vamos analisar a situação do decaimento, antes do decaimento tínhamos o átomo de P o 84 210 então depois do decaimento temos P 82 206 b , considerando que o momento linear é conservado temos que:

p P o = p P b + p H e

Como o momento inicial é zero, temos que:

0 = p P b + p H e

- p P b = p H e

Tanto o núcleo filho quando o núcleo de H e tem o mesmo momento só que com sentidos opostos.

Mas e aí, como esses átomos ganham movimento se inicialmente o átomo de P o 84 210 estava em repouso?

Bem, a energia que possibilitou esse movimento vem da energia liberada pelo decaimento por uma parte da massa do P o 84 210 , para calcular a energia liberada no decaimento temos que saber quanto de massa foi consumida para essa energia.

Como temos a massa inicial e a massa de cada átomo depois do decaimento fica tranquilo encontrar a massa que foi usada para criação de energia e para achar essa energia basta lembrar que:

E = m c 2

Onde c 2 = 931,5   M e V / u

Então essa energia foi transformada em energia cinética para os átomos resultantes, então temos que saber que fração dessa energia foi para partícula α , vamos usar o fato que:

K = p 2 2 m

Para o item ( b ) temos a emissão de um próton, então temos que P 84 210 o → B 83 209 i + H 1 1

Como você pode ver com a emissão desse próton geramos um átomo de hidrogênio.

Para o item ( c ) temos a emissão de um nêutron, então temos que P 84 210 o → P 84 209 o + n 0 1

Como você pode ver com emissão desse nêutron geramos um átomo de P o com uma massa menor.

Para o item ( d ) teremos que ter a emissão de um elétron, logo o número atômico do P o aumenta de um e a massa mantem a mesma, assim teríamos que P 84 210 o → A t 8 5 2 10 + e - 1 0 , então só temos que avaliar a diferença de massas.

Para o item ( e ) teremos que ter a emissão de um pósitron, logo o número atômico do P o diminui de um e a massa mantem a mesma, assim teríamos que P 84 210 o → B i 8 3 2 10 + e + 1 0 , então só temos que avaliar a diferença de massas.

Passo 2

Vamos lá então, vamos encontrar quanto de energia foi liberada no decaimento do item ( a ) , primeiro vamos encontrar a massa usada para isso, temos que:

m f = m P o - m P b - m H e

= 209,982857 - 205,974449 - 4,002603

⇒ m f = 0,005805   u

Então temos que a energia é:

E = m f c 2

= ( 0,005805 ) ( 931,5 )

⇒ E = 5,41   M e V

Passo 3

Agora vamos ver que parte dessa energia que se tornou energia cinética foi para partícula α , do passo 1 temos que:

- p P b = p H e

Elevando os dois lados ao quadrado temos:

p P b 2 = p H e 2

Sabendo que:

K = p 2 2 m

Temos que a energia E que encontramos é a soma das energias cinéticas dos dois átomos, e então:

E = K P b + K H e

E = p P b 2 2 m P b + p H e 2 2 m H e

Mas como p P b 2 = p H e 2 , temos que:

E = p H e 2 2 m P b + p H e 2 2 m H e

Agora do lado esquerdo vamos isolar p H e 2 / 2 m H e , assim temos que:

E = m H e m P b + 1 p H e 2 2 m H e

⇒ E = m H e + m P b m P b p H e 2 2 m H e

Lembrando que:

K H e = p H e 2 2 m H e

Olha que lindo, com isso temos que:

K H e = m P b m H e + m P b E

Substituindo os valores que conhecemos, ficamos com:

K H e = 205,974449 4,002603 + 205,974449 5,41

⇒ K H e = 5,3   M e V

Passo 4

Agora vamos para o item ( b ) , vamos analisar a diferença de massa como comentado no passo 1 , temos o seguinte:

m P o - m B i - m H

= 209,982857 - 208,980383 - 1,00794

= - 0,005466   u

Como a diferença é negativa o decaimento não é possível.

Passo 5

Agora vamos para o item ( c ) , vamos analisar a diferença de massa como comentado no passo 1 , temos o seguinte:

m P o - m P 84 209 o - m n

= 209,982857 - 208,982416 - 1,00866

= - 0,008219   u

Como a diferença é negativa o decaimento não é possível.

Passo 6

Agora vamos para o item ( d ) , vamos analisar a diferença de massa como comentado no passo 1 , mas antes de fazer a diferença, vamos analisar o seguinte, temos que:

m P o = 209,982857   u

m A t = 209,987131   u

A massa do átomo de A 85 210 t é maior que a massa do átomo P 84 210 o , logo esse decaimento é impossível, já que o decaimento ocorre de um átomo mais pesado para um mais leve.

Passo 7

Agora vamos para o item ( e ) , vamos analisar a diferença de massa como comentado no passo 1 , mas antes de fazer a diferença, vamos analisar o seguinte, temos que:

m P o = 209,982857   u

m B 83 210 i = 209,984105   u

A massa do átomo de B 83 210 i é maior que a massa do átomo P 84 210 o , logo esse decaimento é impossível, já que o decaimento ocorre de um átomo mais pesado para um mais leve.

Resposta

( a )

O decaimento é energeticamente possível

K H e = 5,3   M e V

( b )

O decaimento não é possível

( c )

O decaimento não é possível

( d )

O decaimento não é possível

( e )

O decaimento não é possível

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