Enunciado

58. Uma bola de 100   g que se move para a direita a 4,0   m / s alcança e colide com outra bola de 400   g que se move para a direita a 1,0   m / s . Se a colisão for perfeitamente elástica, quais serão os módulos e as orientações das velocidades das bolas após a colisão?

Passo 1

Então galera a situação do enunciado é uma colisão perfeitamente elástica, onde temos a conservação do momento linear e a conservação da energia.

E é com essas informações que vamos resolver nosso problema.

Passo 2

Então galera vamos começar fazendo a conservação do momento do nosso problema, temos o seguinte:

p i = p f

⇒ m 1 v i 1 + m 2 v i 2 = m 1 v f 1 + m 2 v f 2

Como sabemos do enunciado sabemos a velocidade inicial das bolas e as massas, temos:

( 0,1 ) ( 4 ) + ( 0 , 4 ) ( 1 ) = ( 0,1 ) v f 1 + ( 0 , 4 ) v f 2

⇒ 0,8 = 0,1 v f 1 + 0 , 4 v f 2

Agora vamos isolar uma das velocidades, eu vou optar por isolar v f 1 , temos:

v f 1 = 8 - 4 v f 2

Agora para continuarmos vamos para a conservação de energia que falei no passo 1 .

Passo 3

Agora vamos conservar a energia, temos o seguinte:

K i + U i = K f + U f

Como nesse problema não temos nada que cause uma energia potencial diferente da inicial da inicial, assim U i = U f . Então:

K i = K f

⇒ 1 2 m 1 v i 1 2 + 1 2 m 2 v i 2 2 = 1 2 m 1 v f 1 2 + 1 2 m 2 v f 2 2

⇒ m 1 v i 1 2 + m 2 v i 2 2 = m 1 v f 1 2 + m 2 v f 2 2

Substituindo as massas e os valores de velocidade inicial, temos:

0,1 4 2 + 0 , 4 1 2 = 0,1 v f 1 2 + 0 , 4 v f 2 2

⇒ 2 = 0,1 v f 1 2 + 0 , 4 v f 2 2

Agora vamos substituir v f 1 2 pela expressão que encontramos no passo 2 , temos:

2 = 0,1 8 - 4 v f 2 2 + 0 , 4 v f 2 2

⇒ 2 = 0,1 64 - 64 v f 2 + 16 v f 2 2 + 0 , 4 v f 2 2

⇒ 2 = 6 , 4 - 6,4 v f 2 + 1,6 v f 2 2 + 0 , 4 v f 2 2

⇒ 4 , 4 - 6,4 v f 2 + 2 v f 2 2 = 0

Como você pode ver temos uma equação do segundo grau e isso sabemos resolver tranquilamente, temos:

v f 2 = 6,4 ± 40,96 - 4 ( 2 ) ( 4,4 ) 2 ( 2 )

= 6,4 ± 5,76 4

Então duas respostas possíveis, temos:

v f 2 = 2,2   m / s

Ou

v f 2 = 1   m / s

Avaliando essas duas repostas vemos que a única possível é v f 2 = 2,2   m / s para a direita, já que a outra resposta que a bola de massa m 2 manteve-se da mesma forma depois da colisão.

E jogando esse valor de velocidade na equação da conservação de energia daria que a bola de massa m 1 não sofreu nada, logo não teria havido colisão e isso é falso.

Passo 4

Agora para encontrar a velocidade final da bola de massa m 1 , podemos usar a expressão que chegamos no passo 2 , é a seguinte:

v f 1 = 8 - 4 v f 2

Substituindo o valor de v f 2 que temos, ficamos com:

v f 1 = 8 - 4 ( 2,2 )

⇒ v f 1 = - 0,8   m / s

O sinal negativo indica que a bola está se movendo para a esquerda.

Resposta

v f 1 = - 0,8   m / s

v f 2 = 2,2   m / s

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