Enunciado

61. Uma partícula tem energia potencial dada por

U x = x + sen ⁡ ( ( 2   r a d / m ) x )

no intervalo 0   m ≤ x ≤ π   m .

a . Onde se encontram as posições de equilíbrio neste intervalo?

b . Para cada uma delas, trata-se de um ponto de equilíbrio estável ou instável?

Passo 1

Então galera para esse problema teremos que usar nossos conhecimentos de cálculo para resolvê-lo.

A energia potencial da partícula é uma função de x , então para achar as posições de equilíbrio dessa função teremos que ver os valores de x que faz com que

d U d x = 0

Depois para saber se esses pontos de equilíbrio estável ou instável teremos que calcular

d 2 U d x 2

E analisar se essa expressão é positiva ou negativa para os pontos que encontramos no item ( a ) .

Se ele for negativo teremos um ponto de equilíbrio instável e se ele for positivo teremos um ponto de equilíbrio estável.

Passo 2

Vamos lá então, primeiro vamos calcular a primeira derivada de U ( x ) , temos:

d U d x = d d x ( x + sen ⁡ ( 2 x ) )

= 1 + 2 cos ⁡ ( 2 x )

Agora vamos ver os valores de x que faz com que:

d U d x = 0

⇒ 1 + 2 cos ⁡ ( 2 x ) = 0

⇒ cos ⁡ ( 2 x ) = - 1 2

⇒ x = 1 2 arccos ⁡ - 1 2

Os valores de x entre 0 ≤ x ≤ π que faz a expressão ser verdadeira são:

x 1 = π 3

E

x 2 = 2 π 3

Passo 3

Agora vamos calcular a segunda derivada da função da energia potencial e avaliar a expressão que encontramos usando os valores de x do passo anterior.

Temos:

d 2 U d x 2 = d 2 d x 2 ( x + sen ⁡ ( 2 x ) )

= d d x d d x ( x + sen ⁡ ( 2 x ) )

= d d x 1 + 2 cos ⁡ ( 2 x )

Então temos que:

d 2 U d x 2 = - 4 sen ⁡ ( 2 x )

Agora vamos avaliar essa expressão primeiro para x 1 = π / 3 , temos:

d 2 U ( x 1 ) d x 2 = - 4 sen ⁡ 2 π 3

= - 4 3 2

= - 2 3

Como esse valor é negativo temos que esse ponto x 1 é um ponto de equilíbrio instável.

Agora vamos avaliar essa expressão para x 2 = 2 π / 3 , temos:

d 2 U ( x 1 ) d x 2 = - 4 sen ⁡ 2 2 π 3

= - 4 - 3 2

= 2 3

Como esse valor é negativo temos que esse ponto x 2 é um ponto de equilíbrio estável.

Resposta

( a )

x 1 = π 3

x 2 = 2 π 3

( b )

x 1 ponto de equilíbrio instável.

x 2 ponto de equilíbrio estável.

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