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Física - Young and Freedman - Vol 2 - Capítulo 13.Problemas - Ex. 67

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desse livro

67. Um prato uniforme, horizontal, de 1,50   k g é preso a uma mola vertical ideal de constante igual a 185   N / m , e uma esfera de metal de 275   g está sobre o prato. A mola está sob o prato, podendo oscilar para cima e para baixo. O prato é, então, empurrado para baixo até 15,0   c m abaixo do seu ponto de equilíbrio (chame esse prato de A ) e liberado a parir do repouso. ( a ) A que altura acima do ponto A estará o prato quando a esfera de metal deixar o prato? (Sugestão: Isso não ocorre quando a esfera e o prato atingem suas velocidades máximas.) ( b ) Quanto tempo passa entre o momento em que o sistema é liberado no ponto A e o momento em que a esfera sai do prato? ( c ) Com que velocidade a esfera está se movendo ao sair do prato?

Passo 1

Vamos pensar em que situação a esfera sairia do prato, não teria como ser na subida do prato, já que o mesmo só estaria empurrando a esfera para cima, mas descida é possível que eles se separem.

Mas com isso aconteceria? Isso pode ocorrer se o prato tiver uma aceleração maior que a da esfera, que é a mesma da gravidade g = 9,8   m / s 2 , devido a força que a mola emprega nele.

A força exercida pela mola para baixo, tem como fórmula:

F = k d

Onde d é a distância do objeto acima do ponto de equilíbrio, é esse cara que nos vai interessar saber o valor quando a aceleração do prato for igual ou maior que g , que é quando a esfera e o prato se separam.

Usando a segunda lei de Newton no prato, temos que a força resultante é igual a força elástica, já que é a única no prato, assim:

F R = k d

⇒ m a = k d

⇒ a = k d m

Dessa expressão podemos isolar d e colocar a aceleração iguala gravidade e saber em que ponto o prato e a esfera se separam, pois a parti desse momento a aceleração do prato só tende a crescer e eles se separarem mais.

Agora para saber quanto tempo leva para isso acontecer, só nos resta usar a equação da posição de um M H S , já que saberemos o ponto onde isso ocorre, a equação é o seguinte:

x = A cos ⁡ ω t + ϕ

Mas nesse caso ϕ = 0 , pois t = 0 x = A e a única forma de isso ser verdade é o ϕ tendo esse valor.

Assim basta isolar t nessa equação e substituir os valores conhecidos. O ω pode ser encontrado através da seguinte fórmula:

ω = k m

Para achar a velocidade da esfera no ponto em que ela se separa do prato, teremos que apelar para conservação de energia mecânica total, que é dada por:

1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 = 1 2 k A 2

Assim, basta isolar v nessa expressão, lembrando que o valor de x é o ponto elas se separam, que é onde o enunciado quer saber a velocidade.

Passo 2

Vamos encontra o ponto onde o prato e a esfera se saparam, já que essa informação é importante para fazer as outras coisas pedidas.

No passo 1 chegamos a uma equação que nos feneceria a distância do ponto de equilíbrio que a separação ocorreria, que é:

a = k d m

Isolando d e fazendo a = g = 9,8   m / s 2 , temos:

d = m g k

Substituindo os valores, temos:

d = 1,775 9,8 185

⇒ d = 0,094   m

Só que essa é a distância do ponto de equilíbrio da mola, o enunciado quer a distância até o ponto A , que fica a 15   c m do ponto de equilíbrio, então basta somar os dois valores, assim:

9,4 + 15 = 24,4   c m

Passo 3

Andes de saber quanto tempo até a separação vamos achar o valor de ω , que é necessária para achar o tempo, vamos achar esse ω com a seguinte fórmula:

ω = k m

Temos então que:

ω = 185 1,775

= 10,2   r a d / s

Passo 4

Agora que temos o ω , vamos da uma mexida na equação da posição para achar o t , a equação é:

x = A cos ⁡ ω t

Assim:

cos ⁡ ( ω t ) = x A

⇒ t = 1 ω arccos ⁡ x A

Substituindo o que sabemos, temos:

t = 1 10,2 arccos ⁡ - 9,4 15

Temos x = - 9,4   c m pois esse ponto está acima do ponto de equilíbrio e por escolha, o lado negativo é acima do ponto de equilíbrio.

Continuando:

t = 2,25 10,2

⇒ t = 0,221   s

Passo 5

Agora vamos achar a velocidade através da fórmula da equação da energia mecânica total, temos:

1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 = 1 2 k A 2

Vamos isolar a velocidade:

m v 2 = k A 2 - k x 2

⇒ v 2 = k m ( A 2 - x 2 )

Então ficamos com:

v = k m ( A 2 - x 2 )

Agora vamos colocar os valores que temos:

v = 185 1,775 ( ( 0,15 ) 2 - ( - 0,094 ) 2 )

⇒ v = 185 1,775 0,013664

Assim temos uma velocidade de:

v = 1,19   m / s

Resposta

( a )

24,4   c m

( b )

t = 0,221   s

( c )

v = 1,19   m / s

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