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Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler - Capítulo 7.1 - Ex. 98

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O cabo de um elevador de 2000   k g se rompeu, e o elevador está se movendo para baixo com uma rapidez constante de 1,5   m / s . Um sistema de freamento de segurança, que funciona com atrito, evita que o elevador aumente a rapidez de descida. (a) Com que taxa o sistema de freamento está convertendo energia mecânica em energia térmica? (b) Enquanto o elevador se move para baixo a 1,5   m / s , o sistema de freamento falha e o elevador entra em queda livre por uma distância de 5,0   m até atingir uma grande mola de segurança com constante de força de 1,5   .   10 4   N / m . Determine a compressão d sofrida pela mola até o elevador chegar ao repouso.

Passo 1

(a) Estamos interessados na taxa com que certa transferência de energia acontece, ou seja, estamos falando da potência associada a uma força que age na mesma direção da velocidade de um corpo.

Sabemos que, nesse caso, podemos usar a seguinte fórmula:

P = F v

Para manter a rapidez constante, a força F exercida pelo sistema de frenagem deve ser igual ao peso do elevador:

P = m g v

P = 2000 9,81 1,5 ≅ 29   k W

Passo 2

(b) Inicialmente, quando o elevador está descendo com v = 1,5   m / s , sua energia cinética é:

K o = 1 2 m v 2 = 1 2 2000 1,5 2 = 2250   J

Ao cair por uma distância de 5,0   m , a energia potencial gravitacional associada a essa altura será convertida em energia cinética também:

K 1 = Δ U = m g Δ h

K 1 = 2000 9,81 5 = 98100   J

E então a energia cinética total do elevador logo antes de encostar na mola é:

K = 100350   J

Passo 3

Mas essa não é a única energia mecânica do elevador nesse momento. Vamos dizer que o ponto de energia potencial U = 0 está na altura em que a mola atinge sua compressão máxima.

Se essa compressão corresponde a uma distância d , então a energia mecânica do elevador antes de entrar em contato com a mola é:

E 0 = 100350 + m g d

E quando a mola estiver comprimida ao máximo, a energia mecânica será:

E f = 1 2 k d 2

Então, pela lei de conservação de energia:

100350 + m g d = 1 2 k d 2

k d 2 - 2 m g d - 200700 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau:

d = 2 m g ± 2 m g 2 - ( 4 ) ( k ) ( - 200700 ) 2 k

Vamos substituir os valores numéricos:

d = ( 2 ) ( 2000 ) ( 9,81 ) ± 2 2000 9,81 2 - ( 4 ) ( 1,5.10 4 ) ( - 200700 ) 2 ( 1,5.10 4 )

E excluindo a solução negativa:

d ≅ 5,2   m

Resposta

(a) P = 29   k W .

(b) d = 5,2   m .

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