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Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler - Capítulo 4.1 - Ex. 67

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Uma caixa de massa m 2 = 3,5   k g está sobre uma estante horizontal sem atrito e presas por fios a caixas de massas m 1 = 1,5   k g e m 3 = 2,5   k g , como mostra a Figura 4-51. As duas polias são sem atrito e sem massa. O sistema é largado do repouso. Após a largada, encontre (a) a aceleração de cada uma das caixas e (b) a tensão em cada fio.

Passo 1

a) Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. Temos uma caixa em cima de uma superfície horizontal. Temos outras duas caixas presas nela. Uma a esquerda e outra a direita.

Só que a caixa a direita é tem massa maior, então quando o sistema é largado do repouso, a tendencia é as caixas serem puxadas pela caixa de maior massa.

Ele começa pedindo a aceleração de cada caixa. É interessante pensar nesses casos onde um objeto puxa o outro, que a aceleração para todos os objetos vai ser a mesma mesma, porque eles se movem juntos com uma distância constante entre eles (a cordinha no nosso caso).

Se eles tivessem acelerações diferentes, por exemplo, se a caixa da direita tivesse maior aceleração, ela ia ter maior rapidez, se afastando da caixa do meio cada vez mais. Mas isso não é possível por causa da cordinha que tem sempre o mesmo comprimento.

Antes de partir para achar essa aceleração, a gente precisa fazer o diagrama de corpo livre de cada caixa para ter ideia de como as forças estão interagindo:

A gente colocou x no sentido da aceleração em cada caso só para facilitar as contas. Percebe que a aceleração é resultado de uma força resultante no seu sentido, por isso as força no sentido da aceleração aparecem maiores do que as que estão nos sentido inverso.

Temos tensões T onde a gente tem as cordinhas. Cada caixa tem sua força peso F g por ter massa. E a caixa do meio tem uma força normal F n por estar em contato com a superfície.

Bora equacionar essas forças através da segunda lei de Newton para achar a → .

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton na caixa de massa m 1 na direção x , temos:

∑ F x = m a x

Como T 1 está no sentido do eixo x , ela aparece positiva no somatório, e o contrário acontece com F g 1 :

T 1 - F g , 1 = m 1 a x

Lembrando que F g = m g :

T 1 - m 1 g = m 1 a x   i

Aplicando a segunda lei de Newton na caixa de massa m 2 , temos:

∑ F x = m a x

Aqui quem está no sentido positivo de x é T 2 , que fica positiva no somatório e o contrário acontece com T 1 ' :

T 2 - T 1 ' = m 2 a x

Como T 1 ' = T 1 , porque é a mesma corda, temos que:

T 2 - T 1 = m 2 a x   i i

Aplicando a segunda lei de Newton na caixa de massa m 3 , temos:

∑ F x = m a x

Aqui quem está no sentido de x é a força peso F g 3 , por isso ela aparece com sinal positivo no somatório, o contrário de T 2 ' (que vai ter o mesmo módulo de T 2 ):

F g , 3 - T 2 = m 3 a x

m 3 g - T 2 = m 3 a x   i i i

Passo 3

Como a aceleração do sistema é igual para todos os corpos, podemos relacionar as equações encontradas:

T 1 - m 1 g = m 1 a x   i

T 2 - T 1 = m 2 a x   i i

m 3 g - T 2 = m 3 a x   i i i

A gente pode somar todas elas e simplificar:

T 1 - m 1 g + T 2 - T 1 + m 3 g - T 2 = m 1 a x + m 2 a x + m 3 a x

m 3 g - m 1 g = m 1 + m 2 + m 3 a x

Isolando quem a gente quer:

a x = ( m 3 - m 1 ) g m 1 + m 2 + m 3

Substituindo os valores, temos que:

a x = 2,5 - 1,5 9,81 1,5 + 3,5 + 2,5

a x = 1,31   m / s 2

Passo 4

b) Queremos descobrir T 1 e T 2 .

Da equação i , temos que

T 1 - m 1 g = m 1 a x

T 1 = m 1 g + m 1 a x

Substituindo os valores:

T 1 = 1,5 ⋅ 9,81 + 1,31

T 1 = 17   N

E da equação i i i temos que

m 3 g - T 2 = m 3 a x

T 2 = - m 3 g + m 3 a x

Substituindo os dados:

T 2 = 2,5 ⋅ 9,81 - 1,31

T 2 = 21   N

Resposta

a ) a x = 1,31   m / s 2

b ) T 1 = 17   N

T 2 = 21   N

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