Enunciado

Calcule a integral da Equação (18.30), ∫ 0 x v f v   d v e compare o resultado com v 2 m é d como dada pela Equação (18.35). (Sugestão: faça a mudança de variável v 2 = x   e use a integral tabelada

∫ 0 x x n e - α x 2 d x = n ! 2 n + 1  

onde n   é o numero inteiro positivo e α é uma constante positiva.)

Passo 1

Bom galera, aqui vamos seguir o procedimento especificado no problema.

Lembrando uma regrinha de integração:

Se v 2 = x , então d x = 2 v d v .

Passo 2

Logo, temos que

∫ 0 ∞ v f v d v = 4 π m 2 π k T 3 / 2 ∫ 0 ∞ v 3 e - m v 2 / 2 k T d v

Passo 3

Fazendo a alteração sugerida da variável,

v 2 = x , então d x = 2 v d v

Assim,

v 3 d v = 1 2 x   d x

E a integral se torna

∫ 0 ∞ v f v d v = 2 π m 2 π k T 3 / 2   ∫ 0 ∞ x e - m x / 2 k T d x = 2 π m 2 π k T 3 2 2 k T m 2 = 2 π 2 K T m = 8 K T π m

Que é a equação:

v m é d = 8 K T π m

Obs.: A integral ∫ 0 ∞ v f   ( v )   d v é a definição de v .

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