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Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler - Capítulo 18.1 - Ex. 36

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Um copo de vidro de 25,0 g contém 200 mL de água a 24,0°C. Se dois cubos de gelo de 15,0 g, cada um a uma temperatura de –3,00°C, são jogados no copo, qual é a temperatura final da bebida? Negligencie qualquer transferência de calor entre o copo e a sala.

Passo 1

Bom, a água está a 24.0°C, o que significa que ela irá transferir calor para os cubos de gelo. A questão é que não sabemos se esse calor é suficiente para elevar a temperatura do gelo até o seu ponto de fusão, pois se for, parte desse calor será usado pelos cubos para derreterem.

Vamos então calcular a energia do conjunto copo e água até a temperatura 0°C, para sabermos a quantidade de energia disponível para esquentar e derreter o gelo:

Q d i s p = Q c + Q A

Onde Q c é o calor do copo e Q A o da água.

Durante a resolução vamos usar duas fórmulinhas. A primeira é a do calor sensível que é o calor necessário para mudar a temperatura de um corpo de T i para T f . A fórmula dele é

Q = m c Δ T = m c T f - T i     i

Onde m é a massa do corpo e c é o calor específico do corpo. Esse c depende do material, ele é tabelado. Aqui vamos usar a tabela 18-1 para achar os valores de calor específico para os nossos materiais, tá?

A outra fórmullinha que vamos usar é a fórmula para o achar o calor necessário para fundir um corpo de massa m :

Q = m L f u s ã o   i i

Onde L f u s ã o é o calor latente de fusão. Também depende do material. Achamos os valores de L f u s ã o na tabela 18-2.

A partir dessas coisinhas, vamos lá resolver essa parada!

Passo 2

O calor disponível para fundir o gelo será então:

Q d i s p = m c c v i d r o ∆ T + m A c A ∆ T = m c c v i d r o ∆ T + ρ A V A c A ∆ T

Percebe que esse é o calor que o vidro e a água perdem para sair da temperatura 24 ° C e chegar na temperatura T f = 0 ° C , então

Δ T = 0 ° C - 24 ° C

Substituindo os valores numéricos na expressão do calor

Q d i s p = 0.025 k g 0.840 k J k g . K 0 ° C - 24.0 ° C + 1000 k g m 3 200 × 10 - 3 L 10 - 3 m 3 L 4.184 k J k g . K 0 ° C - 24.0 ° C

Q d i s p = - 20.59 k J

Que é a quantidade de calor que seria liberada caso o copo e a água descessem até 0°C.

Passo 3

Agora precisamos saber a quantidade de calor que o gelo precisa para subir até 0°C e fundir totalmente

Q n e c e s s á r i o = Q g e l o + Q d e r r e t e r

Q n e c e s s á r i o = m g e l o c g e l o ∆ T e s q u e n t a r + m g e l o L f u s ã o

Percebe que usamos a expressão i para achar o calor que causa a variação de temperatura, onde queremos que o gelo saia de - 3 ° e vá até 0 ° :

Δ T = 0 ° C - - 3 ° C = 3 ° C

E usamos a expressão i i   para o calor que causa mudança de estado físico.

Substituindo os valores numéricos:

Q n e c e s s á r i o = 2 0.015 k g 2.05 k J k g . K 3.00 ° C + 2 0.015 k g 0.333 k J k g

Q n e c e s s á r i o = 10.19 k J

Esse é o calor necessário para derreter os dois cubos de gelo, por isso a massa usada foi a soma das massas dos dois cubinhos.

Passo 4

Agora repara que o calor necessário para abaixar a temperatura e derreter os dois gelos é menor do que o calor que seria perdido pela água e pelo vidro para chegar a 0 ° C . Isso nos diz que com certeza o gelo irá derreter!

Como a temperatura disponível é ainda maior em modulo do que a necessária para derreter o gelo e elevar sua temperatura ao ponto de fusão, então a equação da conservação de energia deve ser escrita da seguinte maneira:

Q = Q r e s f r i a r   c o p o + Q r e s f r i a r   á g u a + Q e s q u e n t a r   g e l o + Q d e r r e t e r + Q e s q u e n t a r   g e l o   d e r r e t i d o = 0

O último termo apareceu porque como a energia necessária para derreter e esquentar o gelo até ponto de fusão é menor do que o calor recebido pelos cubos, então a água após a fusão será aquecida.

Passo 5

Escrevendo cada um dos Q s , ficamos com:

Q = m c c v i d r o ∆ T c + m A c A ∆ T A + m g e l o c g e l o ∆ T e s q u e n t a r + m g e l o L f u s ã o + m g e l o c A ∆ T e s q u e n t a r   á g u a = 0

A gente viu no passo 3 que o calor necessário para abaixar a temperatura do gelo e derreter é

Q n e c e s s á r i o = m g e l o c g e l o ∆ T e s q u e n t a r + m g e l o L f u s ã o = 10.19 k J

Podemos substituir isso na nossa equação para evitar fazer mais conta haha

m c c v i d r o ∆ T c + m A c A ∆ T A + m g e l o c g e l o ∆ T e s q u e n t a r + m g e l o L f u s ã o + m g e l o c A ∆ T e s q u e n t a r   á g u a = 0

m c c v i d r o ∆ T c + m A c A ∆ T A + 10.19 k J + m g e l o c A ∆ T e s q u e n t a r   á g u a = 0

Passo 6

Agora repara que Δ T C = ∆ T A é a temperatura necessária para tirar a água e o vidro de 24 ° C até a temperatura de equilíbrio T f .

Δ T c = Δ T A = T f - 24 ° C

E ∆ T e s q u e n t a r   á g u a é a temperatura para esquentar a massa de água que era gelo e derreteu quando chegou em 0 ° . Então vamos sair de 0 ° para a temperatura de equilíbrio T f :

∆ T e s q u e n t a r   á g u a = T f - 0 ° C

Substituindo isso e os valores numéricos na equação de equilíbrio:

m c c v i d r o ∆ T c + m A c A ∆ T A + 10.19 k J + m g e l o c A ∆ T e s q u e n t a r   á g u a = 0

0.025 k g 0.840 k J k g . K T f - 24.0 ° C + 0.200 k g 4.184 k J k g . K T f - 24.0 ° C + 10.19 k J + 2 0.015 k g 4.184 k J k g . K T f - 0 ° C = 0

Isolando T f e resolvendo:

T f = 10.6 ° C

Resposta

T f = 10.6 ° C

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