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Uma corda de 2,00   m de comprimento, fixa em uma das extremidades e livre na outra (a extremidade livre está ligada a um cordão longo e leve), vibra em seu terceiro harmônico com uma amplitude máxima de 3,00   c m e uma frequência de 100   H z . (a) Escreva a função de onda para esta vibração. (b) Escreva uma função para a energia cinética de um segmento da corda de comprimento d x , em um ponto distante x da extremidade fixa, como função do tempo t . Em que tempos esta energia cinética é máxima? Qual é o formato da corda nesses tempos? (c) Determine a energia cinética máxima da corda, integrando sua expressão da Parte (b) sobre o comprimento total da corda.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação geral da onda para o terceiro harmônico é dada por:

y 3 x , t = A 3 sin ⁡ k 3 x cos ⁡ ω 3 t

Sabemos que:

ω 3 = 2 π f 3

Usando a condição padrão da onda para o sistema, temos:

L = 3 λ 3 4

λ 3 = 4 3 L

k 3 é dado por:

k 3 = 2 π λ 3

k 3 = 2 π 4 3 L

k 3 = 3 π 2 L

Substituindo na equação da onda, temos:

y 3 x , t = A 3 sin ⁡ 3 π 2 L x cos ⁡ 2 π f 3 t

Substituindo os valores, temos:

y 3 x , t = 0,03 sin ⁡ 3 π 4 x cos ⁡ 2 00 π t

Onde 0 ≤ x ≤ 2   m .

Passo 2

Item (b):

A função para a energia cinética de um segmento da corda de comprimento d x , é dada por:

d K = 1 2 d m v y 2

Sabemos que:

d m = μ d x

Como temos a equação geral da onda, podemos encontrar a velocidade associada:

v y = d y d t

v y = d d t [ 0,03 sin ⁡ 3 π 4 x cos ⁡ 200 π t ]

v y = - 200 π ⋅ 0,03 sin ⁡ 3 π 4 x cos ⁡ 200 π t

v y = - 6 π sin ⁡ 3 π 4 x cos ⁡ 200 π t

Substituindo, temos:

d K = 1 2 μ d x - 6 π sin ⁡ 3 π 4 x sin ⁡ 200 π t 2

Para que d K   seja máximo:

sin ⁡ 200 π t = 1

Ou seja:

200 π t = π 2 , 3 π 2 , …

Portanto:

t = 1 200 π ⋅ π 2 ,   1 200 π ⋅ 3 π 2   ,   …

t = 2,50   m s ,   7,50   m s ,   …

Passo 3

Item (c):

A energia cinética máxima será:

K m á x = ∫ 0 L 1 2 μ ω A sin ⁡ k x sin ⁡ ω t 2 d x

K m á x = 1 2 μ ω 2 A 2 ∫ 0 L sin 2 ⁡ k x d x

K m á x = 1 4 m ω 2 A 2

Substituindo os valores, temos:

K m á x = 1 4 m 200 π 2 0,03 2

K m á x = 88,8 ⋅ m   J

Onde m é a massa da corda.

Resposta

a ) y 3 x , t = 0,03 sin ⁡ 3 π 4 x cos ⁡ 200 π t

b ) d K = 1 2 μ d x - 6 π sin ⁡ 3 π 4 x sin ⁡ 200 π t 2

t = 2,50   m s ,   7,50   m s ,   …

c ) K m á x = 88,8 ⋅ m   J

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