Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 9ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick - Capítulo 24.9 - Ex. 32

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desse livro

Uma distribuição linear de cargas não uniforme dada por λ = b x , onde b é uma constante, está situada no eixo x, entre x   =   0 e x   =   0,20   m . Se b   =   20   n C / m 2 e V =   0 no infinito, determine o potencial elétrico (a) na origem; (b) no ponto y   =   0,15   m do eixo y.

Passo 1

Primeiramente, devemos pegar um pedacinho bem pequeno dessa distribuição linear de tamanho d x . Para fazer essa questão, devemos lembrar da fórmula de potencial produzido por um pedacinho bem pequeno (infinitesimal), que é:

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r

Em que r   é a distância do pedacinho até o ponto de interesse e d q é a carga desse pedacinho pequeno infinitesimal e que encontraremos pra utilizar nos cálculos do potencial. Como a distribuição linear é uniforme, podemos fazer

λ = Q x

Q = λ x

Em que λ é a distribuição linear, Q é a carga total e x é o comprimento que está no eixo x . Assim, derivando essa equação aí temos:

d q = λ d x

Como λ = b x , então:

d q = b x d x

No intervalo 0 ≤ x ≤ 0,20   m .

Agora que nós temos tudo que é necessário pra fazer a integração vamos partir pra avaliar cada um dos casos pedidos no enunciado e encontrar o potencial para ambos os casos.

Passo 2

Item (a)

Vamos integrar a equação do potencial substituindo o nosso valor de d q encontrado.

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r

Nesse caso, a distância entre o ponto em que estamos calculando e a origem é x , isto é, devemos substituir na fórmula do potencial r = x integrar de r = 0 até r = 0,20   m como diz o enunciado:

V = ∫ 0 V d i s t d V =   1 4 π ϵ 0 ∫ 0 0,20 b x d x x

V d i s t = b 0,20 4 π ϵ 0 = 36   V

Passo 3

Item (b)

O mesmo caso do item a, mas o que muda aqui é a distância r . Nesse caso, a distância é a hipotenusa do triângulo criado, que é r = x 2 + d 2 , então:

V d i s t = 1 4 π ϵ 0 ∫ 0 0,20 b x d x x 2 + d 2

V d i s t = b 4 π ϵ 0   x 2 + d 2 ​ 0 0,20 = 18   V  

Resposta

a   V d i s t = 36   V  

b     V d i s t = 18   V

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