Enunciado

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Duas fontes sonoras A   e   B na atmosfera emitem isotrópicamente com potência constante. Os níveis sonoros β das emissões estão plotados na Figura em função da distância r das fontes.

A escala do eixo vertical é definida por   β 1 =   85,0   d B e β 2   =   65,0   d B . Para r =   10   m , determine (a) a razão entre a maior e a menor potência e (b) a diferença entre os níveis sonoros das emissões.

Passo 1

(a)Belezoca galerinha, precisamos lembrar disso como um mantra: “olhar com atenção todos o enunciado e a figura, antes de partir pro ataque”.

Belezera, vamos então ver como fica essa brincadeira ai!

A primeira coisa que salta aos nossos olhos é que, no ponto do gráfico em que o nível sonoro da fonte B é igual a

β B = 65   dB

(em r = 1000   m ) . Já o nível sonoro da fonte A é igual a:

β = 5   dB

Como surgiu esse resultado? O enunciado nos diz, com outras palavras, que a escala vertical desse gráfico é igual a:

( β 1 - β 2 ) n ú m e r o   d e   e s p a ç o   e n t r e   e l e s = 85 - 65 4   dB

( β 1 - β 2 ) n ú m e r o   d e   e s p a ç o   e n t r e   e l e s = 5   dB

Passo 2

Tá ok, mas como isso vai nos ajudar?

Aí é que está, meu caro jovem! Porque a malandragem é que agora podemos relacionar o nível sonoro com a intensidade da seguinte forma:

β = 10   dB log ⁡ I I 0

Mas calma lá meu patrão, saca só, vamos considerar que P A e P B são as potências das fontes A   e   B (potências que são constantes, como diz o nosso enunciado). Elas relacionam-se com a intensidade da seguinte maneira;

P A = I A A = I A 4 π r 2

I A = P A 4 π r 2

Sendo I A e r a intensidade da fonte A e a distância até onde chega uma frente de onda propagada por ela.

A mesma coisa acontece com a fonte B , tal que:

P B = I B A

P B = I B 4 π r 2

I B = P B 4 π r 2

Passo 3

Beleza, a questão trabalha com níveis sonoros, mas voltamos a falar de intensidade. Qual a lógica disso?

Lembra como o nível sonoro e a intensidade se relacionam? É desse jeito:

β = 10   dB log ⁡ I I 0

Logo:

β = 10   dB log ⁡ I 10 - 12   W/m²

Como vimos no passo 1 , a diferença entre os níveis sonoros no ponto em que r = 1000   m vale Δ β = 5 d B . Vamos usar isso na expressão acima, considerando as intensidades das fontes A e B e ver onde chegaremos!

Δ β = 5   dB

∆ β = β A - β B

Tal que:

Δ β = 10 log ⁡ I A I 0 - 10 log ⁡ I B I 0 = 5   dB

E agora vamos usar aqui as expressões do Passo 2! Saca só:

Δ β = 10 log ⁡ P A I 0 4 π r 2 - 10 log ⁡ P B I 0 4 π r 2 = 5   dB

10 log ⁡ P A I 0 4 π r 2 - 10 log ⁡ P B I 0 4 π r 2 = 5   dB

Passo 4

Finalmente, lembrando que a subtração de dois logaritmos é igual ao logaritmo da divisão:

log ⁡ a b = log ⁡ a - log ⁡ b

A gente consegue transformar a última equação do passo 3 no seguinte:

5   dB = 10 log ⁡ P A P B

Daí, a gente chega na nossa procurada resposta:

P A P B = 10 5 10

P A P B = 10  

Logo:

P A P B ≅ 3,2

Resposta

  1. 3,2
  2. β = 5   dB

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