Enunciado

Duas partículas de mesma massa, igual a 250   g , estão suspensas do teto por barras idênticas, de 0,5   m de comprimento e massa desprezível, e estão ligadas uma à outra por uma mola de constante elástica 25   N / m . No instante t = 0 , a partícula 2 recebe um impulso que lhe transmite uma velocidade de 10   c m / s . Determine os deslocamentos x 1 t e x 2 t das posições de equilíbrio das duas partículas (em c m ) para t > 0 .

Passo 1

A figura mostra um sistema típico de oscilações acopladas. A demonstração das equações é bem longa, então vamos pular direto para as fórmulas:

x 1 t = q 1 t + q 2 t

x 2 t = q 1 t - q 2 t

Onde q 1 ( t ) e q 2 t são as seguintes soluções gerais:

q 1 t = A 1 cos ⁡ ω 1 t + ϕ 1

q 2 t = A 2 cos ⁡ ω 2 t + ϕ 2

Então:

x 1 t = A 1 cos ⁡ ω 1 t + ϕ 1 + A 2 cos ⁡ ω 2 t + ϕ 2

x 2 t = A 1 cos ⁡ ω 1 t + ϕ 1 - A 2 cos ⁡ ω 2 t + ϕ 2

Passo 2

A primeira condição inicial diz que as duas partículas partem do equilíbrio:

x 1 0 = x 2 0 = 0

Então:

x 1 0 = A 1 cos ⁡ ϕ 1 + A 2 cos ⁡ ϕ 2 = 0

x 2 0 = A 1 cos ⁡ ϕ 1 - A 2 cos ⁡ ϕ 2 = 0

Como as amplitudes A 1 ≠ A 2 ≠ 0 , então uma solução possível é:

ϕ 1 = ϕ 2 = - π 2

E como cos ⁡ x - π 2 = sen ⁡ x , nós podemos reescrever nossa equação como:

x 1 t = A 1 sen ⁡ ω 1 t + A 2 sen ⁡ ω 2 t

x 2 t = A 1 sen ⁡ ω 1 t - A 2 sen ⁡ ω 2 t

Passo 3

E agora, para aplicar a segunda condição inicial, precisamos tirar as duas derivadas:

x ˙ 1 t = A 1 ω 1 cos ⁡ ω 1 t + A 2 ω 2 cos ⁡ ω 2 t

x ˙ 2 t = A 1 ω 1 cos ⁡ ω 1 t - A 2 ω 2 cos ⁡ ω 2 t

E as condições iniciais são:

x ˙ 1 0 = 0 x ˙ 2 0 = v = 0,1   m / s

Então ficamos com um sistema:

A 1 ω 1 + A 2 ω 2 = 0 A 1 ω 1 - A 2 ω 2 = v

Somando as duas temos:

2 A 1 ω 1 = v         ⇒         A 1 = v 2 ω 1

E subtraindo a segunda da primeira:

2 A 2 ω 2 = - v         ⇒         A 2 = - v 2 ω 2

Então as nossas equações são:

x 1 t = v 2 ω 1 sen ⁡ ω 1 t - v 2 ω 2 sen ⁡ ω 2 t

x 2 t = v 2 ω 1 sen ⁡ ω 1 t + v 2 ω 2 sen ⁡ ω 2 t

Passo 4

Agora falta calcular ω 1 e ω 2 . As fórmulas para essas frequências também são dadas no livro.

ω 1 é a frequência natural de oscilação do pêndulo, dada por:

ω 1 = g l = 9,81 0,5 ≅ 4,43   r a d / s

E a frequência ω 2 é:

ω 2 = ω 1 2 + 2 K

Onde K = k / m :

ω 2 = ω 1 2 + 2 k m = 4,43 2 + 2 25 0,250 = 14,8   r a d / s

Vamos substituir isso nas nossas equações:

x 1 t = 0,1 2 4,43 sen ⁡ 4,43   t - 0,1 2 14,8 sen ⁡ 14,8   t

x 2 t = 0,1 2 4,43 sen ⁡ 4,43   t + 0,1 2 14,8 sen ⁡ 14,8   t

Então:

x 1 t = 0,0113 sen ⁡ 4,43   t - 0,0034 sen ⁡ 14,8   t

x 2 t = 0,0113 sen ⁡ 4,43   t + 0,0034 sen ⁡ 14,8   t

Resposta

Os deslocamentos são x 1 t = 0,0113 sen ⁡ 4,43   t - 0,0034 sen ⁡ 14,8   t e x 2 t = 0,0113 sen ⁡ 4,43   t + 0,0034 sen ⁡ 14,8   t .

Exercícios de Livros Relacionados

Um bloco pesando 20 N oscila na extremidade de uma mola vertica para a qual k = 100 N / m ; a outra extremidade da mola está presa a um teto. Em um certo instante, a mola está esti...
13.19E Mostre por substituição direta, que a função x t dada pela Equação 13.73 é solução da Equação 13.61 quando γ = 2 ω 0 .
13.18P Deduza a Equação 13.68.
13.23P Mostre que para ω = ω 0 + γ 2 , dado que γ ≪ ω 0 , P ω = F 0 2 4 b Sugestão: faça as aproximações ω 0 2 - ω 2 = ω 0 + ω ω 0 - ω = - 2 ω 0 γ 2 = - γ ω 0 = - γ ω
13.20E Mostre por substituição direta, que se as Equações 13.75 forem satisfeitas, x = a x 1 + b x 2 satisfará a Equação 13.76.
13.22P O conjunto de amortecedores do carro descrito no Problema 13.21 tem uma constante de amortecimento b = 2,0 × 10 4   Ns/m , conforme definição expressa pela Equação 13.59. Su...
13.17P Suponha que o oscilador descrito em Problema 13.16 seja submetido a uma força oscilatória descrita por F = 0,020 N . cos ⁡ 100,10   s -1 . t . A) Calcule a amplitude x m das...
62. Um dispositivo experimental e sua estrutura de suporte para instalação a bordo da International Space Station (Estação Espacial Internacional) deve funcionar como um sistema ma...
61. Uma força propulsora variando senoidalmente é aplicada a um oscilador harmônico amortecido. a ) Quais são as unidades da constante de amortecimento b ? b ) Mostre que a grandez...
Um oscilador não amortecido de massa m e frequência própria ω 0 move-se sob a ação de uma força externa F = F 0 exp ⁡ - β t , onde β > 0 é uma constante. Inicialmente, o oscilad...
Dois pêndulos idênticos, formados por partículas de massa m suspensas por barras de massa desprezível e comprimento l , estão ligadas um ao outro por uma mola de massa desprezível ...
Uma pessoa está segurando uma extremidade A de uma mola de massa desprezível e constante elástica 80   N / m . Na outra extremidade B , há uma massa de 0,5   k g suspensa, inicialm...