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Duas partículas se movem ao longo do eixo   x . A posição da partícula 1 é dada por x = 6,00 t 2 +   3,00 t + 2,00 , onde x está em metros e t   em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por a =   - 8,00 t , onde a   está em metros por segundo ao quadrado e t   em segundos. No instante t = 0 , a velocidade da partícula 2 é 20   m / s . Qual é a velocidade das partículas no instante em que têm a mesma velocidade?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, esse problema envolve duas partículas e pede a velocidade das partículas no instante em que ambas possuem a mesma velocidade. Para isso, o problema nos deu a função de deslocamento de uma das partículas e a função da aceleração da outra. Como nós estamos interessados na velocidade, precisamos encontrar a função da velocidade de cada partícula e, a partir daí, encontrar a velocidade das partículas no instante ( t i ) em que têm a mesma velocidade ( v i ).

Para começar, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade, de forma que:

a t = d v t d t

Então podemos expressa a velocidade como:

v t = ∫ a t d t

Já para a posição, temos que sua derivada nos retorna a velocidade, tal que:

v t = d x t d t

A partir dessas definições, conseguimos encontrar a velocidade de cada partícula.

Passo 2

Vamos encontrar a função da velocidade da partícula 1. Como nos foi dado a função da posição, vamos derivar essa função e encontrar a velocidade:

v 1 t = d x 1 t d t

Logo:

v 1 t = d 6 t 2 + 3 t + 2 d t

v 1 t = 12 t + 3

Iradoso, agora pra gente encontrar a função da velocidade da partícula 2, vamos integrar a função da aceleração:

v 2 t = ∫ a 2 t d t

Tal que:

v 2 t = ∫ - 8 t d t

v 2 t =   - 8 t 2 2 + C

v 2 t =   - 4 t 2 + C

Só não vale esquecer da constante de integração, hein? Como estamos calculando a função da velocidade o C nada mais é que nossa velocidade quando t = 0 :

v 2 0 = - 0 + C

v 2 0 = C

Que é exatamente igual a velocidade inicial que também foi dada no problema como:

v o = 20   m/s

Assim, a função da velocidade da partícula 2 é:

v 2 t = - 4 t 2 + 20

Então agora a gente só precisa encontrar o tempo t onde as velocidade v 1 e v 2 são iguais.

Passo 3

Belezera, para isso vamos igualar as funções das velocidade v 1 e v 2 :

v 1 = 12 t + 3

v 2 =   - 4 t 2 + 20

Igualando:

12 t + 3 = - 4 t 2 + 20

4 t ² + 12 t - 17 = 0

Agora, se a gente resolver essa equação do segundo grau, vamos ter que:

t = - 12 ± 12 2 - 4 × 4 × - 17 2 × 4

Encontramos aproximadamente:

t =   1,05   s

t ' =   - 4,05   s

Como não existe t < 0 , então o tempo onde as velocidades são iguais é:

t = 1,05   s

Passo 4

Substituindo o tempo t encontrado, em uma das equações da velocidade, encontramos a velocidade das partículas:

Para esta etapa, vamos escolher a função da partícula 1 porque é uma equação do 1º grau, logo:

v 1 t =   12 t + 3

Portanto:

v = 12 t i + 3

v = 12 × 1,05 + 3

v = 15,6   m/s

Resposta

v = 15,6   m/s

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