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Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler - Capítulo 5.1 - Ex. 110

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Encontre a localização do centro de massa de uma barra não-uniforme de 0,40   m de comprimento se a sua densidade varia linearmente de 1,00   g / c m em uma ponta até 5,00   g / c m na outra ponta. Especifique a localização do centro de massa em relação à ponta mais leve da barra.

Passo 1

A densidade vai variar linearmente de 1,00   g / c m até 5,00   g / c m em um intervalo de 40   c m , como podemos representar por uma função linear que depende da posição x ?

ρ = A x + B

A = 5,00 - 1,00 40 = 4 40 = 0,1   g / c m

E a constante B é o valor inicial da densidade:

B = 1,00   g / c m

Ou seja:

ρ = 0,1   x + 1,0

Passo 2

Agora podemos usar a fórmula para encontrar o centro de massa da barra:

x c m = ∫ x   d m ∫ d m

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela primeira:

∫ x   d m = ∫ x   ( ρ d x ) = ∫ x 0,1 x + 1,0   d x

∫ x   d m = ∫ 0 40 0,1 x 2 + 1,0 x   d x

E a integral indefinida dá:

∫ ( 0,1 x 2 + 1,0 x )   d x = 0,1 3 x 3 + 1,0 2 x 2 + C

Substituindo os limites de integração:

∫ x   d m = 0,1 3 40 3 + 1,0 2 40 2 ≅ 2933   c m

Passo 3

E para a segunda integral:

∫ d m = ∫ ( ρ d x )

∫ d m = ∫ 0 40 0,1 x + 1,0   d x

Para a integral indefinida:

∫ d m = 0,1 2   x 2 + 1,0   x + C

E substituindo os limites de integração:

∫ d m = 0,1 2 40 2 + 1,0   ( 40 )

∫ d m = 120   g

E então:

x c m = ∫ x   d m ∫ d m = 2933 120 ≅ 24   c m

E como a barra está sobre o eixo x , a coordenada em y do centro de massa é zero.

Resposta

A posição do centro de massa é ( 24   c m   ,   0 ) .

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