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7. A energia total aproximada de uma partícula de massa m que se desloca com uma rapidez v ≪ c é:

(a) m c 2 + 1 2 m v ²

(b) m v ²

(c) c m v

(d) 1 2 m c ²

Passo 1

Bem! Olha só, o que temos que fazer nessa questão é descobrir a expressão para a energia total relativística da partícula com a formulinha que já conhecemos, em termos da velocidade e expandir o radical que aparece na fórmula, para encontrar uma expressão aproximada correta para a energia total, quando v ≪ c .

Vamos lá!

Passo 2

Expressando a energia relativística total da partícula, como a soma de sua energia cinética e sua energia restante:

E = K + m c ²

Mas sabemos, que a energia K , pode ser escrita como:

K = m c ² 1 - v 2 c 2 - m c ²

Então, descobrimos E :

E = K + m c 2

E = m c ² 1 - v 2 c 2 - m c 2 + m c ²

E = m c ² 1 - v 2 c 2

Lembra que eu falei lá no começo de expandir a fórmula da energia! Você deve estar se perguntando que raios de expansão é essa. Bom é a expansão binomial, que consiste em tentar escrever essa expressão através de números binomiais de forma que a expressão torna-se mais simples!

Mas, afinal qual a fórmula dessa tal expansão binomial que teremos que usar! Bom, imagine dois números a e b e que a soma desses números está elevado a outro número n , que não sabemos. Através da expansão binomial, sabemos que ( a + b ) n pode ser escrito como:

( a + b ) n = a n + n a n - 1 b + n n - 1 2 a n - 2 b 2 + ⋯ + b n

E olha só para a fórmula da nossa energia total relativística:

E = m c ² 1 - v 2 c 2

Não! Olhe de novo! Porque agora ela vai ter uma nova cara:

E = m c ² 1 - v 2 c 2 - 1 2

Mas que beleza! Temos a soma de dois números elevado a outro número. Só nos resta agora, aplicar expansão binomial na expressão acima:

E = m c ² 1 - v 2 c 2 - 1 2 = m c 2 1 - 1 2 - 1 2 ∙ 1 - 3 2 ∙ - v 2 c 2 + ⋯

Bom, não vamos desenvolver essa expressão toda, né! Ninguém aqui é de ferro! Até porque depois do segundo termo na nossa expansão, os termos são tão pequenos que podemos considerar como próximos de zero. Ficamos então com:

E = m c 2 1 + 1 2 ∙ v 2 c 2

E alcançamos o nosso resultado igual a:

E = m c 2 + 1 2 m v 2

Resposta

Letra (a) m c 2 + 1 2 m v 2

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