Enunciado

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Um engenheiro possui um objeto de 10   k g de forma irregular e precisa conhecer o momento de inércia do objeto em relação a um eixo que passa pelo centro de massa. O objeto é preso a um fio esticado cuja orientação é a mesma do eixo. O fio possui uma constante de torção k = 0,50   N . m . Se esse pêndulo de torção sofre 20 oscilações completas em 50   s , qual é o momento de inércia do objeto?

Passo 1

Bom galera, essa questão é um pouquinho diferente do que a gente tem visto e isso se dá por que aqui estamos trabalhando com um pêndulo diferente que é o pêndulo de torção.

Esse pêndulo ele é diferente pois a oscilação dele vai se dar pelo fato dele rotacionar ao redor do eixo.

Esse eixo é feito de um fio e esse fio tem uma constante de torção (que também é algo novo pra a gente né).

Essa constante de torção vêm da Lei de Hooke para o caso angular (isso é, para rotações).

O mais importante aqui é saber que o torque gerado pelo fio vai ser dado como:

τ = - k θ

Aonde o k é a constante de torção dada e θ é a posição angular do nosso objeto.

Pela segunda lei de newton para rotações, teremos:

τ = I α

Sendo que a aceleração angular, pode ser reescrita como sendo a segunda derivada da posição angular.

τ = I θ ¨

E se juntarmos tudo teremos uma equação diferencial:

- k θ = I θ ¨

Isolando a derivada, temos:

θ ¨ = - k I θ

Agora que vem a parte mais importante, essa equação diferencial tem uma resposta que é:

θ t = θ m á x cos ⁡ ω 0 t

Aonde a frequência angular é:

ω 0 = k I

Opa, apareceu o momento de inércia em termos da frequência angular, agora tá fácil resolver.

Passo 2

Sabemos que a frequência angular é dada como:

ω 0 = 2 π T 0

Onde T 0 é o período da oscilação que não nos foi dado, mas como o enunciado disse que o pêndulo oscila 20 vezes em 50 segundos, podemos encontrar o período que é quanto tempo ele leva para uma oscilação:

20   O s c i l a ç õ e s 1   O s c i l a ç ã o = 50 s x

x = 50 20 = 2,5 s

Portanto nosso período é T 0 = 2,5 s

Prosseguindo, vamos igualar as expressões para a frequência angular:

2 π T 0 = k I

Substituindo os valores:

2 π 2,5 = 0,5 I

I = 0,2813

E portanto o momento de inércia será:

I = 0,079 K g m 2

Resposta

I = 0,079   k g . m 2

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