Enunciado

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Na figura a , a corda 1 tem uma massa específica linear de 3,00   g / m e a corda 2 tem uma massa específica linear de 5,00   g / m . As cordas estão submetidas à tensão produzida por um bloco suspenso de massa M = 500   g . Calcule a velocidade da onda (a) na corda 1 e (b) na corda 2 . (Sugestão: quando uma corda envolve metade de uma polia, exerce sobre a polia uma força duas vezes maior que a tensão da corda). Em seguida, o bloco é dividido em dois blocos (com M 1 + M 2 = M ) e o sistema é montado como na figura ( b ) . Determine (c) M 1 e (d) M 2 para que as velocidades das ondas nas duas cordas sejam iguais.

Passo 1

Fala galerinha bonita, belejóia?

Saca só, nesse exercicio o bizu é que sempre que a gente encontrar uma questão de ondas falando em velocidade, tensão e massa, já podemos pensar logo de cara nessa fórmula:

v = T μ

Como as letras (a) e (b) pedem a velocidade da onda na corda, vamos deixar essa fórmula guardada, porque vamos precisar depois.

Passo 2

Na situação da figura (a), qual é a força que puxa as cordas? Exatamente, é só o peso daquela massa M .

Primeiro vamos calcular o peso do bloco:

P = m g

P = 0,5 9,8

P = 4,9   N

Então o bloco “passa” essa tensão para aquela corda que está presa diretamente nele, certo? Mas ainda tem mais um detalhe, aquela sugestão do enunciado disse que a força sobre a polia é o dobro da tensão da corda.

Ou seja, a força sobre a polia que está mais próxima ao bloco de massa recebe o dobro desse peso!

Mas por enquanto, isso não vai fazer tanta diferença. Já que tem duas cordas segurando essa polia, elas vão dividir entre elas esse peso dobrado, e é como se cada uma das cordas estivesse segurando um bloco inteiro de massa M .

Mas ainda não acabou! Repetindo a sugestão do enunciado: a força sobre a polia é o dobro da tensão da corda.

Isso quer dizer que a polia dá uma ajuda a mais pra levantar o bloco, de forma que a tensão mesmo sobre a corda é só metade desse peso:

T = 4,9 2

T = 2,45   N

Agora é só calcular a velocidade em cada uma das cordas.

Passo 3

(a) Na corda 1 a velocidade vai ser:

v 1 = 2,45 3,00 × 10 - 3

v 1 = 28,6   m/s

Passo 4

(b) Já na corda 2 a velocidade vai ser:

v 2 = 2,45 5,00 × 10 - 3

v 2 = 22,1   m/s

Passo 5

Maravilha, dessa vez, cada corda só tem uma polia presa em um bloco.

A gente viu que a polia “divide a força ao meio”, ou seja, ela só repassa metade da força sobre ela na forma de tração sobre a corda.

Então dessa vez, a tensão em cada corda vai ser simplesmente:

T 1 = M 1 g 2

T 2 = M 2 g 2

Então vamos calcular os valores das massas M 1 e M 2 para as velocidades serem iguais:

Passo 6

Belezoca, lembrando da fórmula:

v = T μ

No caso da corda (1):

v 1   = M 1 g 2 3,00 × 10 - 3

E no caso da corda (2):

v 2 = M 2 g 2 5,00 × 10 - 3

Igualando as duas:

M 1 g 2 3,00 × 10 - 3 = M 2 g 2 5,00 × 10 - 3

Elevando tudo ao quadrado:

M 1 g 2 ( 3,00 × 10 - 3 ) = M 2 g 2 ( 5,00 × 10 - 3 )

Logo:

M 1 M 2 = 3 5

E agora juntando com a outra informação que temos:

M 1 + M 2 = 0,5

Chegamos em um sistema.

Passo 7

Iradoso, agora é só a gente resolver o sistema. Isolando M 1 na primeira relação, obtemos que:

M 1 = 3 5 M 2

Então substituindo esse resultado na segunda relação, vamos descobrir que:

M 1 + M 2 = 0,5

3 5 M 2 + M 2 = 0,5

8 5 M 2 = 0,5

Logo:

M 2 = 2,5 8

M 2 = 0,313   kg

E agora substituindo isso na segunda equação, descobrimos que M 1 vale:

M 1 + M 2 = 0,5

M 1 + 0,313 = 0,5

M 1 = 0,187   kg

Prontinho!

Resposta

(a) v 1 = 28,6   m/s

(b) v 2 = 22,1   m/s

(c) M 1 = 0,187   kg

(d) M 2 = 0,313   kg

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