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A figura mostra o ciclo a que é submetido 1,00   m o l de um gás ideal monoatômico. As temperaturas são T 1 = 300   K , T 2 = 600   K e T 3 = 455   K . Para a trajetória 1 → 2 , determine (a) o calor trocado Q , (b) a variação da energia interna ∆ E i n t e (c) o trabalho realizado W . Para a trajetória 2 → 3 , determine (d) Q , (e) ∆ E i n t e (f) W . Para a trajetória 3 → 1 , determine (g) Q , (h) ∆ E i n t e (i) W . Para o ciclo completo, determine (j) Q , (k) ∆ E i n t e (l) W . A pressão inicial no ponto 1 é 1,00   a t m   ( = 1,013.10 5   P a ) . Quais são (m) o volume e (n) a pressão no ponto 2 e (o) o volume e (p) a pressão no ponto 3 ?

Passo 1

(a) Bom, na trajetória 1 → 2 , o volume é constante, então pra calcular o valor trocado pelo gás, é só usar essa equação aqui:

Q = n C V Δ T

E como o gás é monoatômico:

C V = 3 2 R

Substituindo os outros valores:

Q = n 3 2 R ( T 2 - T 1 )

Q = 1,00 3 2 8,31 ( 600 - 300 )

Q = 3739,5 ≅ 3,74   .   10 3   J

Passo 2

(b) Agora pra calcular a energia interna vamos usar a primeira lei da termodinâmica:

Δ E i n t = Q - W

Como a trajetória acontece a volume constante, o trabalho é zero, e a energia interna é simplesmente o calor que acabamos de calcular:

Δ E i n t = 3,74   .   10 3   J

Passo 3

(c) Como dito antes, o trabalho em uma transformação a volume constante é sempre zero. Então:

W 1 → 2 = 0

Passo 4

(d) Agora queremos o calor trocado pelo gás na trajetória 2 → 3 , que segundo o enunciado é uma transformação adiabática.

Bom, uma transformação adiabática é justamente uma em que não existe troca de calor, portanto:

Q 2 → 3 = 0

Passo 5

(e) Dessa vez, ao invés de usar a primeira lei da termodinâmica, vamos pela fórmula da variação de energia interna mesmo:

Δ E i n t = n C V Δ T

Δ E i n t = 1,00 3 2 R ( T 3 - T 2 )

Δ E i n t = 3 2 R 455 - 600 ≅ - 1,81   .   10 3   J

Passo 6

(f) Agora que já temos a variação da energia interna e o calor, é só usar a primeira lei da termodinâmica pra calcular o trabalho:

Δ E i n t = Q - W

Δ E i n t = - W

W = 1,81   .   10 3   J

Passo 7

(g) Agora queremos a troca de calor na trajetória 3 → 1 . Como essa é uma transformação a pressão constante, podemos usar essa fórmula aqui:

Q = n C P Δ T

Q = n ( C V + R ) ( T 1 - T 3 )

Q = n 5 2 R ( 300 - 455 )

Q = - 1,00 5 2 ( 8,31 ) ( 155 )

Q = - 3220,125 ≅ - 3,22   .   10 3   J

Passo 8

(h) Pra calcular a variação da energia interna podemos usar essa fórmula aqui:

Δ E i n t = n C V Δ T

Lembrando que C V é o calor específico molar a volume constante.

Δ E i n t = n 3 2 R - 155 = - 1932,075   J

Δ E i n t ≅ - 1,93   .   10 3   J

Passo 9

(i) O trabalho pode ser calculado pela primeira lei da termodinâmica:

Δ E i n t = Q - W

- 1,93.10 3 = - 3,22.10 3 - W

W = - 3,22.10 3 + 1,93.10 3

W = - 1,29   .   10 3   J

Passo 10

(j) O calor trocado no ciclo completo é simplesmente a soma de todos os calores que nós calculamos, ou seja:

Q T = 3,74.10 3 + 0 - 3,22.10 3 = 0,52   .   10 3   J

Q T = 5,20   .   10 2

Passo 11

(k) E a lógica da variação de energia interna é a mesma:

Δ E i n t T = 3,74.10 3 - 1,81.10 3 - 1,93.10 3

Δ E i n t T = 0

O que é esperado já que estamos falando de um ciclo completo.

Passo 12

(l) E o mesmo acontece para o trabalho total:

W = 0 + 1,81.10 3 - 1,29.10 3 = 0,52.10 3   J

W = 5,20   .   10 2   J

Passo 13

(m) Agora queremos o volume no ponto 2 . A melhor forma de resolver isso é pegar algum ponto em que todas as grandezas sejam conhecidas, e comparar ele com o ponto 2 pela lei dos gases ideais.

O ponto 1 , por exemplo, serve pra isso. Nesse ponto o gás tem o mesmo volume que tem no ponto 2 , então:

p 1 V 1,2 = n R T 1

V 1,2 = n R T 1 p 1

V 1,2 = 1,00 8,31 300 1,013.10 5 = 0,0246   m 3

Passo 14

(n) E agora é só usar a outra formulação da lei dos gases ideais pra encontrar a pressão no ponto 2 .

p 1 V 1 T 1 = p 2 V 2 T 2

p 2 = p 1 V 1 T 1 T 2 V 2

Podemos cortar os dois volumes, já que são iguais:

p 2 = 1,013.10 5 600 ( 300 ) = 2,02 6   .   10 5   P a

p 2 = 2,02 6   .   10 5   P a

Passo 15

(o) Agora queremos o volume no ponto 3 . É só usar a lei dos gases ideais:

p 3 V 3 = n R T 3

A pressão é a mesma do ponto 1 , que foi dada no enunciado, então:

V 3 = n R T 3 p 3

V 3 = 1,00 8,31 455 1,013.10 5 = 0,0373   m 3

Passo 16

(p) E pra finalizar, queremos a pressão nesse ponto, mas já até dissemos que é a mesma pressão do ponto 1 , que já foi dada no enunciado:

p 3 = 1,013   .   10 5   P a

Resposta

(a) Q = 3,74   .   10 3   J .

(b) Δ E i n t = 3,74   .   10 3   J .

(c) W = 0 .

(d) Q = 0 .

(e) Δ E i n t = - 1,81   .   10 3   J .

(f) W = 1,81   .   10 3   J .

(g) Q = - 3,22   .   10 3   J .

(h) Δ E i n t = - 1,93   .   10 3   J .

(i) W = - 1,29   .   10 3   J .

(j) Q T = 5,20   .   10 2   J .

(k) Δ E i n t T = 0 .

(l) W = 5,20   .   10 2   J .

(m) V = 0,0246   m 3 .

(n) p 2 = 2,02 6   .   10 5   P a .

(o) V 3 = 0,0373   m 3 .

(p) p 3 = 1,013   .   10 5   P a .

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