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Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman - Capítulo 3.Problemas - Ex. 74

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desse livro

Em um filme de aventura, o herói joga uma granada de seu carro, que se desloca a 90,0   k m / h , atingindo o carro do inimigo, que se desloca a 110,0   k m / h . O carro do inimigo está 15,8   m à frente do carro do herói quando ele joga a granada. Se o lançamento é tal que sua velocidade inicial em relação a ele forma um ângulo de 45 ° acima da horizontal, qual deve ser o módulo da velocidade inicial? Os dois carros se deslocam no mesmo sentido numa estrada retilínea e plana. Despreze a resistência do ar. Ache o módulo da velocidade inicial em relação ao herói e em relação à Terra.

Passo 1

O alcance da granada vai ser 15,8 m mais a distância que o carro do inimigo se desloca enquanto a granada está em queda livre.

A ideia é encontrar o tempo de voo da granada e relacionar esse tempo com a distância que o inimigo percorre com o alcance da granada.

O problema pede a velocidade inicial da granada em relação ao herói e em relação à terra.

Mas vamos por partes! Bora lá?

Passo 2

Vamos considerar como v 0 a magnitude da velocidade da granada em relação ao herói. As componentes da velocidade inicial, considerando o ângulo de lançamento de 45 ° são:

v 0 x = v 0 c o s 45

v 0 y = v 0 s e n 45

A velocidade relativa entre os carros vai ser:

v r e l = 110 - 90 = 20 k m / h   = 5,5 m / s

Passo 3

Vamos começar calculando o tempo de voo da granada. Sabendo que ela parte do chão e retorna ao chão, y = y 0 = 0 . A velocidade inicial vai ser v 0 y e a aceleração é a da gravidade e aponta para baixo. O tempo t é:

y = y 0 + v 0 y t - g t 2 2

0 = 0 + v 0 s e n 45   t - g t 2 2

Isolando t teremos:

g t 2 2 = v 0 s e n 45 t

t = 2 v 0 s e n 45 g

E, enquanto a granada fica no ar, o carro do inimigo fica se deslocado pra frente. Essa distância é d e pode ser relacionada com a velocidade relativa e esse tempo que encontramos:

d = v r e l t = v r e l 2 v 0 s e n 45 g = 2 v 0 v r e l g

Agora vamos relacionar com o alcance. Do livro texto, sabemos que o alcance R pode ser dado em termos da velocidade inicial e do ângulo de lançamento:

R = v 0 x 2 s e n 2 θ g = v 0 x 2 s e n 2.45 g = v 0 x 2 s e n 90 g = v 0 2 c o s 45 2 g

R = v 0 2 g

Agora vamos aplicar o que foi dito lá no passo 1 : a soma das distâncias que o carro inimigo percorre mais a distância inicial entre os carros deve ser igual o alcance da granada:

R = d + 15,8

Substituindo as quantidades R e d ficamos com uma expressão só em v 0 :

v 0 2 g = 2 v 0 v r e l g + 15,8

Reorganizando os termos:

v 0 2 - 2 v r e l v 0 - 15,8 g = 0

v 0 2 - 7,92 v 0 - 154,8 = 0

Usamos aqui a fórmula de bhaskara pra determinar as raízes:

v 0 = - ( - 7,92 ) ± ( - 7,92 ) 2 - 4 . 1 . ( - 154,8 ) 2 . 1

Jogando tudo isso na calculadora temos o resultado de v 0 = 17 m / s . Sendo assim, a velocidade inicial da granada em relação ao herói deve ser v 0 = 17 m / s .

E suas componentes são:

v 0 x = v 0 c o s 45 = 12 m / s

v 0 y = v 0 s e n 45 = 12 m / s

Passo 4

Agora para uma pessoa que está no chão, ela enxerga a mesma velocidade vertical, mas como a granada é lançada pelo herói que está se movimentando com uma velocidade horizontal de 30,6 m / s , então em relação ao solo, haverá mudança na componente horizontal:

v o y = 12 m / s

v 0 x = 12 + 25 = 37 m / s

E o módulo é dado pela raiz da soma do quadrado das componentes:

v 0 = 12 2 + 37 2 = 1513 = 38,89 m / s

Resposta

E m   r e l a ç ã o   a o   h e r ó i :   v 0 x = 12 m / s

v 0 y = 12 m / s ,   v 0 = 17 m / s

E m   r e l a ç ã o   a o   s o l o :   v 0 x = 37 m / s

v 0 y = 12 m / s

v 0 = 38,89 m / s

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